ルーローの三角形ＰＱＲはいかなる向きにおいても１辺の長さがＰＱと等しい正方形ＡＢＣＤに内接する．その際，

　(1)円弧上の点を接点として転がるとき，円の中心は直線ｙ＝ａ上を基線上の接点と平行に動く

　(2)正方形の４辺に接する接点を結ぶ線分は直交する

［Ｑ］ＡＢ＝ＰＱ＝２ａとして，ルーローの三角形の重心の軌跡を求めよ．

　　［参］阿原一志「考える微分積分」数学書房

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　正方形の中心を原点とする．

　　Ｐ（ｘ，ａ），Ｑ（−ａ，ｙ），Ｒ（Ｘ，Ｙ）

とおくと，ＰＱ＝２ａであるから

　　（ｘ＋ａ）^2＋（ｙ−ａ）^2＝４ａ^2　→　ｙ＝ｆ（ｘ）

　ＰＱの中点Ｍ（（ｘ−ａ）／２，（ｙ＋ａ）／２）とＲを結ぶ線分がＰＱと直交することより，

　　（ｙ−ａ）／（ｘ＋ａ）・（（ｙ＋ａ）−２Ｙ）／（（ｘ−ａ）−２Ｘ）＝１

　ＭＲ＝√３ａより，

　　（（ｘ−ａ）−２Ｘ）^2＋（（ｙ＋ａ）−２Ｙ）^2＝１２ａ^2

　また，ＰＲ＝ＱＲ＝２ａより，

　　（Ｘ−ｘ）^2＋（Ｙ−ａ）^2＝（Ｘ＋ａ）^2＋（Ｙ−ｙ）^2＝４ａ^2

　ルーローの三角形の重心（ξ，η）は

　　（ξ，η）＝（（Ｘ＋ｘ−ａ）／３，（Ｙ＋ｙ＋ａ）／３）

であるが，

　　ｙ＝ｆ（ｘ），Ｘ＝ｇ（ｘ，ｙ），Ｙ＝ｈ（ｘ，ｙ）

として，この軌跡が２次曲線（楕円）であることを示せればよい．

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　　（ｙ−ａ）^2／（ｘ＋ａ）^2＝４ａ^2／（ｘ＋ａ）^2−１

　　（（ｙ＋ａ）−２Ｙ）^2／（（ｘ−ａ）−２Ｘ）^2＝１２ａ^2／（（ｘ−ａ）−２Ｘ）^2−１

より，

　　（４ａ^2／（ｘ＋ａ）^2−１）（１２ａ^2／（（ｘ−ａ）−２Ｘ）^2−１）＝１　→　Ｘ＝ｇ（ｘ）

　　（Ｘ−ｘ）^2＋（Ｙ−ａ）^2＝４ａ^2　→　Ｙ＝ｈ（ｘ，Ｘ）＝ｈ（ｘ）

　ここまでくれば，

　　ξ＝（Ｘ＋ｘ−ａ）／３

　　η＝（Ｙ＋ｙ＋ａ）／３

の軌跡が求まる（はずである）．

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