正三角形の３つの頂点を中心にして正三角形の１辺の長さを半径とする円を描くと，正三角形に少し丸みをつけた図形ができる．これがルーローの三角形である．ルーローの三角形はどの方向の幅も最初の正三角形の１辺の長さとなる．いかなる方向に対しても等しい幅をもっている図形を「定幅図形」と呼ぶ．

　「定幅図形」であるから，どんな向きにおいても同じ長さを１辺とする正方形のなかにピッタリ収まる．そこでドリルの刃をルーローの三角形にすると四角い穴もあけられることになる．（実際，ルーローの三角形の形の刃をもつドリルで四角の穴をあけるものがあるし，マツダのロータリーエンジンはルーローの三角形を応用したもので，ピストンエンジンに較べて可動部分が少なく，大きさの割には高い出力が得られる．）

　とはいっても，もちろん中心が固定されていては丸い穴しかあけられない．中心以外の定まった軸のまわりに回転させてもダメである．それでは中心をどのように動かせば正方形の穴をあけるドリルを作ることができるのだろうか？

　阪本ひろむ氏に教えてもらったのだが，

　　Wagon著「Mathematica数学研究・基礎編」

の記述によると中心の運動は４つの楕円の弧を組み合わせたものになっているそうである．その記述には何の説明もなく楕円軌道を描くのは当然のごとく書かれてあったのだが，それをみた瞬間，小生には本当だろうかという疑問が湧いた．

　ルーローの三角形には３つの角があり，そこを接点として転がるときは円弧，円周上の１点を接点として転がるときはトロコイドになる．だから楕円とはまったく関係しないように思えたのである．はたして，小生の直観は正しいであろうか．

　とかく直観はだまされやすいものなので実際に計算してみるつもりになったのだが，みるとやるでは大違い，この問題は一筋縄ではゆかない厄介者であることがわかった．今回のコラムでは小生が試行錯誤した計算過程を披露してみたい．

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【１】直線上を転がるときの中心の軌跡

　円が直線上を回転するとき，円の中心が描く軌跡は定直線に平行な直線となります．円を正方形に置き換えてみると，頂点が回転軸となりますから，正方形の中心は中心角π／２の円弧を連ねた波型曲線を描きます．正三角形の場合，その中心（重心）は中心角２π／３の円弧をつないだ曲線になります．一般に，正ｎ角形の場合，中心角２π／ｎの円弧をつないだ曲線となるのですが，円の場合は正ｎ角形のｎ→∞のときの極限として，平行線を描くというわけです．

　また，固定した直線上を円が滑らずに転がるとき，回転円の周上の固定点のなす軌跡はサイクロイドと呼ばれます．最初の定点の位置を原点にとり，回転角を媒介変数として回転円の半径をａとすると

　　ｘ＝ａ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ａ（１−ｃｏｓθ）

と書くことができます．この曲線は２変数多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０の形に表せませんから代数曲線でありません．

　円の内側にある固定点が描く軌跡をトロコイドというのですが，

　　ｘ＝ａθ−ｂｓｉｎθ，ｙ＝ａ−ｂｃｏｓθ　　　（ａ＞ｂ＞０）

で表されます．ｂは円の中心から固定点までの距離で，このときｙはａ−ｂ≦ｙ≦ａ＋ｂの範囲を動きます．また，サイクロイドもトロコイドもθ＝２π，ｘ＝２πａを周期とする曲線であることがわかります．

　　ｄｘ／ｄθ＝ａ−ｂｃｏｓθ＝ｙ，ｄｙ／ｄθ＝ｂｓｉｎθ

　　ｄ^2ｘ／ｄθ^2＝ｂｓｉｎθ，ｄ^2ｙ／ｄθ^2＝ｂｃｏｓθ

　　ｄ^3ｘ／ｄθ^3＝ｂｃｏｓθ，ｄ^3ｙ／ｄθ^3＝−ｂｓｉｎθ

より，

　　ｄｙ／ｄｘ＝ｂｓｉｎθ／（ａ−ｂｃｏｓθ）

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝ｃｏｔθ

　　ｄ^3ｙ／ｄｘ^3＝−ｔａｎθ

　それではルーローの三角形の中心が描く軌跡はどうなるかというと，トロコイドと中心角π／３の円弧を区分的に接続した曲線となります．その理由はルーローの三角形には３つの角があり，そこを接点として転がるときは接線同士のなす内角は２π／３ですから中心角π／３の円弧となり，一方，円周上の１点を接点として転がるときはトロコイドになるからです．

　ルーローの三角形の場合，ｂ＝ａ／√３です．また，角から中心までの距離をｃ（＝ｂ＝ａ／√３）とおき，トロコイドの最下点ｙ＝ａ−ｂの位置をｘ＝０にとると，円弧部分は

　　ｘ＝πａ／６＋ｃｓｉｎφ　　　（−π／６≦φ≦π／６）

　　ｙ＝ｃｃｏｓφ

と表すことができます．

　　ｄｘ／ｄφ＝ｃｃｏｓφ，ｄｙ／ｄφ＝−ｃｓｉｎφ

　　ｄ^2ｘ／ｄφ^2＝−ｃｓｉｎφ，ｄ^2ｙ／ｄφ^2＝−ｃｃｏｓφ

　　ｄ^3ｘ／ｄφ^3＝−ｃｃｏｓφ，ｄ^3ｙ／ｄφ^3＝ｃｓｉｎφ

より

　　ｄｙ／ｄｘ＝−ｔａｎφ

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝ｃｏｔφ

　　ｄ^3ｙ／ｄｘ^3＝−ｔａｎφ

両者が接続する点ではφ＝−π／６ですから，円弧に関して

　　ｄｙ／ｄｘ＝−ｔａｎφ＝１／√３

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝ｃｏｔφ＝−√３

　　ｄ^3ｙ／ｄｘ^3＝−ｔａｎφ＝１／√３

　トロコイドに関しては，円弧と連続することより

　　ｙ＝ａ−ｂｃｏｓθ＝ｃ√３／２

より，

　　ｃｏｓθ＝√３／２，ｓｉｎθ＝１／２

　　ｄｙ／ｄｘ＝ｂｓｉｎθ／（ａ−ｂｃｏｓθ）＝１／√３

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝−ｃｏｔθ＝−√３

　　ｄ^3ｙ／ｄｘ^3＝−ｔａｎθ＝−１／√３

となって，ｙもｙ’もｙ”も一致するするように接続することがわかります．しかし，ｙ^(3)は一致していないようです．

　以上のことから，ルーローの三角形が直線上を転がるときの中心の軌跡はトロコイドの最高点ａ＋ｂを円弧の最高点ｃまで押しつぶしたような形であって，ａ−ｂ≦ｙ≦ｃ，すなわち，

　　（１−１／√３）ａ≦ｙ≦ａ／√３

の範囲を動くことになります．

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【２】中心が直線を描く場合の基線

　前節では直線上（接線上）を転がるルーローの三角形の中心の描く軌跡について考えてみましたが，ここでは逆問題，すなわち，ルーローの三角形の中心が直線を描く場合，その基線となる曲線を求めてみます．

　これにより，直線上を転がるルーローの三角形の中心の描く軌跡と，ルーローの三角形の中心が直線を描く場合の基線は一致しないことを実際に確かめてみることにします．→コラム「転がる石に苔むさず」参照

　ルーローの三角形を極座標を用いてｒ＝ｒ（φ）で定義します．ｒ＝ｒ（θ）としなかったのはトロコイド（パラメータ：θ）

　　ｘ＝ａθ−ｂｓｉｎθ，ｙ＝ａ−ｂｃｏｓθ　　　（ａ＞ｂ＞０）

との対応を考えてのことです．

　φの出発点（φ＝０）をトロコイドの最下点ｙ＝ａ−ｂの位置にとると，

　　ｒ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓθ　　（余弦定理）

　　ａｃｏｓθ＝ｂ＋ｒｃｏｓφ　　　　　（−π／３≦φ≦π／３）

　　ａｓｉｎθ＝ｒｓｉｎφ　　　　　　　（−π／６≦θ≦π／６）

なる幾何学的関係が成り立ちますから

　　ｒ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ｂ（ｂ＋ｒｃｏｓφ）

　　　　＝ａ^2−ｂ^2−２ｂｒｃｏｓφ

したがって，

　　ｒ＝−ｂｃｏｓφ＋｛（ｂｃｏｓφ）^2＋ａ^2−ｂ^2｝^(1/2)

　　　＝−ｂｃｏｓφ＋ａ｛１−ｋ^2ｓｉｎ^2φ｝^(1/2)　　ｋ＝ｂ／ａ

　　ｘ＝∫ｒｄφ

　　　＝∫｛−ｂｃｏｓφ＋｛（ｂｃｏｓφ）^2＋ａ^2−ｂ^2｝^(1/2)｝ｄφ

　　　＝−ｂｓｉｎφ＋ａＥ［φ，ｋ^2］　　　ｋ^2＝ａ^2／ｂ^2

　　ｙ＝−ｒ

よりφを消去できれば基線（ｘ，ｙ）が求められるのですが，厳密解は不完全楕円積分ですからこれ以上簡単な形には表せません．

　　ｄｘ／ｄφ＝｛−ｂｃｏｓφ＋｛（ｂｃｏｓφ）^2＋ａ^2−ｂ^2｝^(1/2)｝＝−ｙ

　　ｄｙ／ｄφ＝−ｂｓｉｎφ＋１／２・ｓｉｎ２φ｛（ｂｃｏｓφ）^2＋ａ^2−ｂ^2｝^(-1/2)

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【３】中心の軌跡

　第２節の考察は接点と中心の回転の位相（ｘ座標）がずれていないという利点があるものの，当該の問題を解くのには役に立ちません．第１節に掲げたトロコイド

　　ｘ＝ａθ−ｂｓｉｎθ，ｙ＝ａ−ｂｃｏｓθ　　　（ａ＞ｂ＞０）

の媒介変数表示を用いることにします．

　第１節との違いは，ルーローの三角形の回転が基線上の自由運動ではなく，正方形の中の回転に制限されているということです．この制限はｘに影響を与えますがｙには影響しません．すぐには気づきにくいことなのですが，

　(1)円弧上の点を接点として転がるとき，円の中心は直線ｙ＝ａ上を基線上の接点と平行に動くこと，

　(2)正方形の４辺に接する接点を結ぶ線分は直交すること

が重要な点です．

　これに気づきさえすれば，中心の軌道が

　　ｘ＝ａｃｏｓ（π／３−θ）−ａ／２−ｂｓｉｎθ

　　　＝−ａ／２＋ａ／２ｃｏｓθ＋（ａ√３／２−ｂ）ｓｉｎθ

　　ｙ＝ａ−ｂｃｏｓθ

で与えられることが理解されます．この式は自由な回転であればａθだけ進むべきところが

　　ａｃｏｓ（π／３−θ）−ａ／２

に制限されていると考えることができます．

　　ｃｏｓθ＝（ｙ−ａ）／ｂ

　　ｓｉｎθ＝｛ｘ＋ａ／２−ａ（ｙ−ａ）／２ｂ｝／（ａ√３／２−ｂ）

よりθを消去すれば，正方形の中で回転するルーローの三角形の中心は４つの楕円の弧をなすことがわかります．以下に，ルーローの三角形の中心の軌跡を描いたものを掲げます．

　実際はほとんど円（半径：ｂ−ａ／２）を描いているといっていいくらいのようですので，「円もどき」の軌跡と表現しておきます．なお，ルーローの三角形の中心は辺に対して近づいたり遠ざかったりする運動をするわけですから，４辺ではその運動を４回繰り返さないと四角い穴はあけられません．したがって，ルーローの三角形が正方形のなかを１回転するとき，重心はそれが描く軌跡を４回まわることになります．もちろん頂点の軌跡は（ほとんど）四角形に一致します．

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