■球の充填と格子（その２）
球の最密パッキングの研究は，２次形式の数論，ルート系，誤り訂正符号（応用代数学），有限単純群などの理論と関係し，最大の信頼性と最小の電力で伝送できる効率的な通信システムの設計に応用されています．
とくに，２４次元リーチ格子：Λ24の発見により，データ転送における誤り訂正符号の発見に大革新がもたらされましたが，通信技術への応用は球の詰め込み問題の四次元以上への一般化の結果としてなされたものであり，純粋数学の期待せざる応用の一例といってもよいでしょう．
今回のコラムでは，
［参］一松信「現代に活かす初等幾何学入門」岩波書店
の助けを借りて，ｎ＝８，２４の場合について最密充填を与える格子の構成法を略述しますが，８次元のＥ8格子の話の前に有限射影平面について説明しておきます．
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【１】有限射影平面
１本の直線上にｎ個の点があるアフィン平面をｎ次のアフィン平面と呼びます．有限アフィン平面Ｆq×Ｆqは
｛（ｘ，ｙ）｜ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙはＦqに属する｝
で定義されるものです．ｎ次のアフィン平面では１点を通る直線はｎ＋１本で，ｎ^2個の点がありますから，全部で
ｎ^2（ｎ＋１）／ｎ＝ｎ（ｎ＋１）
本の直線があります．
最も簡単な有限アフィン平面はＺ2×Ｚ2で，４個の点を四面体状に結んだものです．また，ｎ次のアフィン平面上では平行な直線はｎ本あり，平行な直線同士を集めた組がｎ＋１組あります．
アフィン平面では平行な直線が存在しましたが，しかし，すべての直線が交点をもつとしても矛盾を生じない幾何学の体系を考えることができます．アフィン平面に無限遠点，無限遠直線を加えて完備化すると射影平面が得られますが，完備化により点の数がｎ＋１個，直線が１本増えます．したがって，ｎ次射影平面における点の数はｎ^2＋ｎ＋１，直線の数もｎ（ｎ＋１）＋１＝ｎ^2＋ｎ＋１で等しくなります．
これを
ｑ＝ｎ^2＋ｎ＋１
とおきますが，たとえば，２次の射影平面は７つの点，７本の直線よりなり，このことが射影平面の双対性と結びついてきます．
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最も簡単な射影平面は，有限体Ｚ2上の２次元射影幾何であって，ファノ平面と呼ばれています．そして，７個の点ｐ1〜ｐ7を（１〜７）と略記することにして，例えば，７本の直線上の３点の組を（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の７組の体系は射影幾何の公理系を満たすことになります．
そして，ｑ行ｑ列の行列Ａ＝｛ａij｝を
ａij＝１・・・直線ｌiが点ｐjを通るとき
０・・・そうでないとき
と定めると，成分が０か１の行列を得ることができます．
［１，１，１，０，０，０，０］
［１，０，０，１，１，０，０］
［１，０，０，０，０，１，１］
Ａ＝［０，１，０，１，０，１，０］
［０，１，０，０，１，０，１］
［０，０，１，１，０，０，１］
［０，０，１，０，１，１，１］
この結合組の例では対称行列になりましたが，一般的には対称行列とはなりません．また，この行列では，各点は３本の直線に含まれるので，各行には１が３回現れます．また，各直線は３個の点を通るので，各列にはやはり１が３回現れます．そして，すべての成分が１である行列をＪとすると，行列Ａは
［３，１，１，１，１，１，１］
［１，３，１，１，１，１，１］
［１，１，３，１，１，１，１］
Ａ’Ａ＝ＡＡ’＝［１，１，１，３，１，１，１］
［１，１，１，１，３，１，１］
［１，１，１，１，１，３，１］
［１，１，１，１，１，１，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
ＡＪ＝ＪＡ＝［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
［３，３，３，３，３，３，３］
となります．Ａ’は直線と点を入れ替えた双対射影平面です．
ここでは２次の射影平面の場合でしたが，ｎ次の射影平面の場合，対角成分はｎ＋１となります．対角成分はｐiを通る直線の数，非対角成分はｐi，ｐjを通る直線の数を表しているというわけです．
射影幾何学の有名な定理：デザルグの定理やパップスの定理は有限射影平面でも成立します．なお，ｎ＝４ｋ＋１，４ｋ＋２の場合にｎ次の射影平面が存在すれば，
ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2
となる整数が存在するということも証明されています．このことからｎ＝６，１４，２１，２２，・・・の場合，ｎ次の射影平面が存在しないことがわかります．
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【２】四元数と八元数
ところで，ハミルトンの四元数は乗法の交換法則を満たさない非可換体（斜体）
ａｂ≠ｂａ
ですが，非可換体においても射影平面を定義することができます．そして可換体ばかりでなく非可換体から作られる射影平面においてもこれらの定理が成立します．
さらに，乗法の結合法則を緩めればケイリーの八元数ができます．これはしばしば「ケイリー数体」と呼ばれますが，厳密にいうと体ではなく「体もどき」ということになります．
八元数は，実数単位ｅ0と７個の虚数単位ｅi(i=1~7)による一次結合Σａjｅjで表されますが，
ｅ0ｅi＝ｅiｅ0＝ｅi，ｅi^2＝−１，ｅiｅj＝−ｅjｅi
はよいとしても，
ｅiｅj＝＋ｅk・・・交換則
ｅiｅj＝−ｅk・・・反交換則
の組合せは様々です．
また，結合法則に関しても
（ｅiｅj)ｅk＝＋ｅi（ｅjｅk）・・・結合則
（ｅiｅj)ｅk＝−ｅi（ｅjｅk）・・・反結合則
の２つの場合があります．
（ｅiｅj)ｅk＝＋ｅi（ｅjｅk）・・・結合則
は（ｉ，ｊ，ｋ）のなかに０（実数）が含まれるときと同一の番号があるときには常に成立しますが，（ｉ，ｊ，ｋ）が１〜７のうちですべて異なるときは必ずしも成り立ちません．
そこで，前節に掲げた（ｉ，ｊ，ｋ）＝（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の場合に結合法則を満たすものと決めます．この７組は３ビットの２進数で表し，各々のビットの排他的論理和をとると０になるので便利です．
（１，２，３）＝（001，010，011）＝０
（１，４，５）＝（001，100，101）＝０
（１，６，７）＝（001，110，111）＝０
（２，４，６）＝（010，100，110）＝０
（２，５，７）＝（010，101，111）＝０
（３，４，７）＝（011，100，111）＝０
（３，５，６）＝（011，101，110）＝０
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【３】ケイリー整数とＥ8格子
八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が
1)整数値をとるもの
2)半整数値の奇数倍をとるもの
3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの
を加えて，「ケイリーの整数」と呼びます．
ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．
このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．
Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．
そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっています．
なお，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は
２４０σ3（ｎ）
（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，
ｎ＝１ → ２４０・１^3＝２４０個
ｎ＝２ → ２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個
ｎ＝３ → ２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個
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【４】アイゼンシュタイン級数とＥ8格子
ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数
Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k
ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）
です．すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式
Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)
ｃ，ｄは互いに素
を満たすというわけです．
保型性の定義から
Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)
Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)
はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．
Ｅk(z+1)＝Ｅk(z) （周期性）
Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z) （双対性）
この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開のもち，
Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n
Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n
Ｅ8(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ｑ^n
Ｅ10(z)＝１−２６４Σσ9(n)ｑ^n
Ｅ12(z)＝１＋６５５２０／６９１Σσ11(n)ｑ^n
Ｅ14(z)＝１−２４Σσ13(n)ｑ^n
・・・・・・・・・・・・・・・・
σk(n)はｎの正の約数のｋ乗和
ベルヌーイ数を用いると
Ｅk(z)＝１−２ｋ／ＢkΣσk-1(n)ｑ^n
また，ζ(1-k)＝−Ｂk／ｋにより
Ｅk(z)＝１−２／ζ(1-k)Σσk-1(n)ｑ^n
とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です．
アイゼンシュタイン級数を用いると
Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24
＝q-24q^2+252q^3-1472q^4+5483q^5+･･･
は
Δ(z)＝1/1732(E4(z)^3-E6(z)^2)
と表されます．
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【５】ハミング符号系
Ｅ8格子の構成法は他にもありますが，ここでは２４次元リーチ格子への準備として，Ｅ8格子の構成法に「符号理論」としての解釈を与えます．符号理論の基礎はまさしく現代数学であり，いまでは歩きながら携帯電話するにしても，現代数学の恩恵を受けているのです．
Ｅ8格子の格子点のうち，半整数の奇数倍を１，偶数倍を０で表すと，
b1b2b3b4b5b6b7b8 b1b2b3b4b5b6b7b8
００００００００（０） １１１１１１１１（Ｆ）
００００１１１１（１） １１１１００００（Ｅ）
００１１００１１（２） １１００１１００（Ｄ）
００１１１１００（３） １１００００１１（Ｃ）
０１０１０１０１（４） １０１０１０１０（Ｂ）
０１０１１０１０（５） １０１００１０１（Ａ）
０１１００１１０（６） １００１１００１（９）
０１１０１００１（７） １００１０１１０（８）
の１６パターンになります．右列は左列のビットを反転させたものです．
左からｂ1，ｂ2，・・・とすると，ｂ1ｂ2ｂ3ｂ5の４ビットを２進数として読むと１６進数（０〜Ｆ）を表すことができます．そして，互いに少なくとも４ビット異なりますから，４ビットの符号に４ビットの検査ビットをつけた８ビット符号系と解釈することができます．
このうちｂ4をパリティビット（１が偶数個になるように付加したビット）とみなすことができるのですが，これがハミング符号系の特別な場合で，一般に１ビットの誤りが完全に訂正できる符号系はｍ個の情報ビットと２^m−ｍ−１個の検査ビットをもつ符号系です．
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【６】２４次元リーチ格子
多くの符号系がガロア代数体から得られるのですが，パリティビットを加えて２４ビットにした符号系を使用すると，３個までの誤りが訂正できる符号系ができあがります．
２４ビット符号系を使用する場合，符号語１２ビット＋検査１１ビット＋パリティ１ビットですから，２^12＝４０９６語を使用することができます．
1)符号語０に対しては全０
2)符号語１に対しては
000000000001｜01000111011｜1
この場合の検査ビットは，左からｂ10，ｂ9，・・・，ｂ1，ｂ0とし，ｂkは素数１１に対して平方剰余のとき１，平方非剰余のとき０とする．また，パリティビットは全体で１が８個となるようにする．
3)符号語２^k(k=1~10)に対しては，末尾のパリティビットはそのままにして，残りの２３ビットをそれぞれ左にk-1桁巡回シフトとする．
4)左端が０の符号語(0~2047)に対しては，左側を２進数と考えて，3)で作った符号を各ビットごとに排他的論理和をとる．
5)左端が１の符号語ｍ(2048~4095)に対しては，その補数4095-mに対して4)で作った符号の各ビットを反転させる．
このようにすると，全０と全１を除いた４０９４語の符号は１が８個，１２個，１６個のいずれかであり，相異なる２個の符号は少なくとも８ビットが異なるようにすることができます．
この考え方が２４次元リーチ格子の場合にも有用となり，リーチは１９６７年に構成した極めて密な格子を構成しました．これがリーチ格子で，１９６９年，コンウェイはこれを利用して「コンウェイ群」と呼ばれる散発単純群を構成しています．これがさらに１９７３年，「モンスター」と命名・愛称された散在型有限単純群の誕生に結びつきました．
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【７】ラマヌジャン数とリーチ格子
以下では１／２，１／４などの分数を避けるために全体を８倍して成分をすべて整数としますが，これにより点間のノルムはすべて１６の倍数となります．したがって，原点からの距離が√１６ｎである点が第ｎ層です．
ｎ＝１（第１層）の点は存在しません．ｎ＝２（第２層）が２４次元の球の最大接触数であり，点の総計は
１９６５５０＝６５５２０×３
で与えられます．この値を与えるＳ^23上の球の配置もＥ8格子同様，本質的に１通りであることが証明されています．
ｎ＝３（第３層）の点の総計は
１６７７３１２０＝６５５２０×２５６
で，一般に第ｎ層の点数は
６５５２０＝１６×４０９５
の整数倍（ａn）となります．
Ｅ8格子では格子点の個数はσ3（ｎ）と関係していましたが，リーチ格子の場合，ｎの約数の１１乗の総和σ11（ｎ）と関係し，
６５５２０（σ11（ｎ）−τ（ｎ））／６９１≒９５σ11（ｎ）
τ（ｎ）はラマヌジャン数
となることが知られています．リーチ格子もアイゼンシュタイン級数と関係しているというわけです．
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ラマヌジャンは，デデキントのイータ関数（重さ1/2をもつモジュラー関数）
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
とおくと
Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n
ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)
を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．
τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,
τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,
τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･
無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式
Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)
と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式を拡張した２４乗版と考えられます．
ラマヌジャン数は，オイラーの分割数のアナローグであり，
(1)ｍとｎが素ならば，τ(m)τ(n)＝τ(mn)
τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)
τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)
τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)
(2)τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1))
(3)τ(n)＝σ11(n)（ｎの約数の１１乗の総和） （ｍｏｄ ６９１）
など驚くような性質をもっています．
したがって，
（σ11（ｎ）−τ（ｎ））／６９１
は整数となるのですが，このようにフーリエ係数がｎに関して乗法的性質をもつ保型形式はヘッケ固有形式と呼ばれるもので，ここでもσ11（ｎ）や６９１が現れていることに注意して下さい．
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［補］Ｄ4格子の第ｎ近接
１次元格子（Ａ1），三角格子（Ａ2＝Ｇ2），正方格子（Ｄ2＝Ｂ2），単純立方格子（sc），体心立方格子（bcc），面心立方格子（fcc：Ａ3＝Ｄ3）の見取り図を描いて，第ｎ近接の個数を数えてみると
第１近接，第２近接，第３近接，第４近接，・・・
１次元格子 ：２，２，２，２，２，２，・・・
三角格子 ：６，６，６，１２，６，１８，・・・
正方格子 ：４，４，４，８，４，４，・・・
単純立方格子：６，１２，８，６，２４，２４，・・・
体心立方格子：８，６，１２，２４，８，６，・・・
面心立方格子：１２，６，１６，１２，２４，８，・・・
が得られますが，このような単純素朴な方法では４次元のＤ4格子についての結果は得られません．
Ｄ4格子（＝Ｆ4格子）は４次元の体心立方格子であり，正２４胞体による４次元空間の充填形に相当するものです．ここで，σ0（ｎ）をｎの奇数の約数の和と定義します．そうすればＤ4格子では原点からのノルムがｎである点の個数が
２４σ0（ｎ）
で与えられるのですが，
ｎ＝１ → ２４・１＝２４個
ｎ＝２ → ２４・１＝２４個
ｎ＝３ → ２４・（１＋３）＝９６個
ｎ＝４ → ２４・１＝２４個
ｎ＝５ → ２４・（１＋５）＝１４４個
ｎ＝６ → ２４・（１＋３）＝９６個
ｎ＝７ → ２４・（１＋７）＝１９２個
ｎ＝８ → ２４・１＝２４個
ｎ＝９ → ２４・（１＋３＋９）＝３１２個
ｎ＝10 → ２４・（１＋５）＝１４４個
さらに，Ｄ4格子の各格子点の勢力範囲が１／２であることを使うと
Σ１／ｎ^2＝π^2／６
を証明できます．同様に，例外型リー環に属する８次元のＥ8格子では
２４０σ3（ｎ）
であり，勢力域の体積が１／１６であることから
Σ１／ｎ^4＝π^4／９０
を得ることができます．
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［補］約数の総和関数の漸近評価
ｎの約数のｋ乗の総和関数σk（ｎ）では
σk（ｎ）＝ｎ^k・σ-k（ｎ）
のように添字ｋに関して単純な対称性をもっています．
たとえば，ｎ＝６，ｋ＝３の場合，約数はｄ＝１，２，３，６ですから
σ3 （６）＝１＋８＋２７＋２１６
＝２１６（１＋１／８＋１／２７＋１／２１６）
＝６^3σ-3（６）
なお，約数の総和関数σ（ｎ）の漸近的な振る舞いは
１／ｎ^2・Σσ（ｋ） → π^2／１２＋Ｏ（ｎ／ｌｏｇｎ）
によって与えられます．同様に，約数の個数関数φ（ｎ）では
１／ｎ・Σ（φ（ｋ）／ｋ） → ６／π^2＋Ｏ（ｌｏｇｎ／ｎ）
１／ｎ^2・Σφ（ｋ） → ３／π^2＋Ｏ（ｌｏｇｎ／ｎ^2）
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［補］ガウスの整数
ａ，ｂを整数として
ａ＋ｂｉ
で表される複素数が「ガウスの整数」です．すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，
±１，±ｉ
の４個の単数があります．
素数は複素数体でも定義されますが，数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．
２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2
５＝（１＋２ｉ）（１−２ｉ）
２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）
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［補］アイゼンスタインの整数
アイゼンスタインの整数は
ａ＋ｂω
と書くことができます．ここで，ωは１の虚立方根で，ｘ^2＋ｘ＋１＝０の根です．それに対して，ガウス整数にはｘ^2＋１＝０が対応しています．
アイゼンスタインの整数には，６つの単数
±１，±ω，±ω^2
があり，正六角形の対称性をもちます．
ここにもやはり素因数分解の一意性が成立します．２および６ｋ＋５型素数はアイゼンスタイン素数ですが，３および６ｋ＋１型素数はアイゼンスタイン素数の積に分解されます．
３＝（１−ω）（１−ω^2）＝（１＋ω）（１−ω）^2＝（１−ω）（２＋ω）
３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）＝（４−３ω）（７＋３ω）
−１の平方根は１の虚４乗根ですから，ガウス整数は円の４分体の中の整数環Ｚ（ｉ），アイゼンスタイン整数は円の３分体の中の整数環Ｚ（ω）と考えることができるでしょう．
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［補］フルヴィッツの整数
ハミルトンの四元数
Ｈ＝ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ
において，ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数に限った「四元整数」は４次元単純立方格子と同一視することができます．
ハミルトンの四元整数環は乗法の交換法則が成り立たない非可換環ですが，４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの３次元球面上には必ず格子点があることを主張しているのが「ラグランジュの定理」であることは，このコラムでもこれまで何回か説明したとおりです．
四元整数に
（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
を追加した数の体系を「フルヴィッツの整数」と呼びます．フルヴィッツの整数全体は整数座標点と半整数座標点からなりますので，４次元体心立方格子であるというわけです．
なお，
（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
は１の原始６乗根であり，
ζ＝ζ++++＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
とおくと，
ζ^2＝ζ-+++，ζ^3＝−１，ζ^4＝ζ----，ζ^5＝ζ+---，ζ^6＝１
となります．
単数すなわち１の約数は，
±１，±ｉ，±ｊ，±ｋ ８個
ζ±±±±のあらゆる符号の組合せをとった１６個
の計２４個あります．
この２４個は４次元空間で正２４胞体をなしています．正２４胞体に相当する３次元正多面体はありません．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからです．実は２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものなのです．
この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．それに対して，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．
２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．
なお，正２４胞体による空間充填は４次元独特の充填形です．正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなしますから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体に対応するものであって，正２４胞体による４次元空間充填形は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当します．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているのですが，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．
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