フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式においてｎ＝２の場合，

　　１／２Σ（ａ1−ａ2）^2＝１／２｛（ａ1−ａ2）^2＋（ａ2−ａ1）^2｝＝（ａ1−ａ2）^2

すなわち，

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

　ｎ＝３の場合は

　　１／４｛Σ（ａ1＋ａ2）（ａ1−ａ2）^2＋ａ3Σ（ａ1−ａ2）^2｝

　＝１／４｛Σ（ａ1＋ａ2＋ａ3）（ａ1−ａ2）^2｝

より

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

が得られる．

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

と同様，フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式により

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ｄ）^2

の形で表されるはずである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式において，ｎ＝４のとき（係数1/2･1/3!は省略するが）

　　Σ(a1^3-a2^3)+Σ(a1^2-a2^2)(a1-a2)a3+Σ(a1-a2)^2a3a4

となる．ここで，第１項

　　Σ(a1-a2)^2(a1^2+a1a2+a2^2)

はａ1，ａ2を置換することにより得られる4Ｐ2＝１２項の和，第２項

　　Σ(a1-a2)^2(a1+a2)a3

はａ1，ａ2，ａ3を置換することにより得られる4Ｐ3＝２４項の和，第３項

　　Σ(a1-a2)^2a3a4

はａ1，ａ2，ａ3，ａ4を置換することにより得られる4Ｐ4＝２４項の和として表される．

　ここで，第１項〜第３項までを同じの重みづけにすると，多項式Ｐ1〜Ｐ6は

　　Ｐ1＝（２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）＋（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）＋２ｃｄ）／６

　　Ｐ2＝（２（ａ^2＋ａｃ＋ｃ^2）＋（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）＋２ｂｄ）／６

　　Ｐ3＝（２（ａ^2＋ａｄ＋ｄ^2）＋（ａ＋ｄ）（ｂ＋ｃ）＋２ｂｃ）／６

　　Ｐ4＝（２（ｂ^2＋ｂｃ＋ｂ^2）＋（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｄ）＋２ａｄ）／６

　　Ｐ5＝（２（ｂ^2＋ｂｄ＋ｄ^2）＋（ｂ＋ｄ）（ａ＋ｃ）＋２ａｃ）／６

　　Ｐ6＝（２（ｃ^2＋ｃｄ＋ｄ^2）＋（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ）＋２ａｂ）／６

で与えられる．

　実際，これらは

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ａ）^2

を満たしている．

　同様に，ｎ＝５の場合，

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5−５ａｂｃｄｅ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ａ−ｅ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ6（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ7（ｂ−ｅ）^2＋Ｐ8（ｃ−ｄ）^2＋Ｐ9（ｃ−ｅ）^2＋Ｐ10（ｄ−ｅ）^2

　　Ｐ1＝（３（ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^3）＋（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｃ＋ｄ＋ｅ）＋（ａ＋ｂ）（ｃｄ＋ｃｅ＋ｄｅ）＋３ｃｄｅ）／１２

Ｐ2〜Ｐ10はこの巡回置換となるので省略する．

　ｎ＝６では

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＋ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6−６ａｂｃｄｅｆ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ａ−ｅ）^2＋Ｐ5（ａ−ｆ）^2＋Ｐ6（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ7（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ8（ｂ−ｅ）^2＋Ｐ9（ｂ−ｆ）^2＋Ｐ10（ｃ−ｄ）^2＋Ｐ11（ｃ−ｅ）^2＋Ｐ12（ｃ−ｆ）^2＋Ｐ13（ｄ−ｅ）^2＋Ｐ14（ｄ−ｆ）^2＋Ｐ15（ｅ−ｆ）^2

　　Ｐ1＝（１２（ａ^4＋ａ^3ｂ＋ａ^2ｂ^2＋ａｂ^3＋ｂ^4）＋３（ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2）（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ）＋２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｃｄ＋ｃｅ＋ｃｆ＋ｄｅ＋ｄｆ＋ｅｆ）＋３（ａ＋ｂ）（ｃｄｅ＋ｃｄｆ＋ｃｅｆ＋ｄｅｆ）＋１２ｃｄｅｆ）／６０

Ｐ2〜Ｐ15は省略．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ａ1^n＋ａ2^n＋・・・＋ａn^n−ｎａ1ａ2・・・ａn

において，

　　ａ1＝ｘ1^2，ａ2＝ｘ2^2，・・・

とすると，

　　ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2ｘ2^2・・・ｘn^2

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ｘ1^2(n-1)−ｘ2^2(n-1)）（ｘ1^2−ｘ2^2）＋・・・｝

　＝１／２（ｎ−１）！｛Σ（ｘ1^2(n-2)＋ｘ1^2(n-3)ｘ2^2＋・・・＋ｘ2^2(n-2)）（ｘ1^2−ｘ2^2）^2＋・・・｝

より，各項が（ｘ1^2−ｘ2^2）ｘ1^(n-2)の平方の形の多項式となっていることがわかるだろう．

　ｎ次形式が２次形式に変換されたというわけであるが，

　　ａ1＝ｘ1^2，ａ2＝ｘ2^2，・・・

とおける場合，たとえば

　　ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ＝（ａ−ｂ）^2

は１個の多項式の平方の形に書けるし

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２

ならば９個の多項式の平方の和，また，

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−４ａｂｃｄ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ6（ｃ−ｄ）^2

　　Ｐ1＝（２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）＋（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）＋２ｃｄ）／３

は各Ｐiが８個の平方の和であるから，４８個の実数係数多項式の平方の和となることが理解される．

　もしこの式を

　　Ｐ1＝（（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2＋ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2−ｄ^2−（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ））／３

と変形すれば，各Ｐiは９個の平方の和であるから５４個の実数係数多項式の平方の和になる．このことより

　　Ｆ＝ΣＰi^2

の表し方は１通りではないことがわかる．

　同様に，

　　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5−５ａｂｃｄｅ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ａ−ｅ）^2＋Ｐ5（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ6（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ7（ｂ−ｅ）^2＋Ｐ8（ｃ−ｄ）^2＋Ｐ9（ｃ−ｅ）^2＋Ｐ10（ｄ−ｅ）^2

　　Ｐ1＝（３（ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^3）＋（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｃ＋ｄ＋ｅ）＋（ａ＋ｂ）（ｃｄ＋ｃｅ＋ｄｅ）＋３ｃｄｅ）／１２

では各Ｐiが２０個の平方の和であるから，全体で２００個の実数係数多項式の平方の和となる．

　　ａ^6＋ｂ^6＋ｃ^6＋ｄ^6＋ｅ^6＋ｆ^6−６ａｂｃｄｅｆ

　＝Ｐ1（ａ−ｂ）^2＋Ｐ2（ａ−ｃ）^2＋Ｐ3（ａ−ｄ）^2＋Ｐ4（ａ−ｅ）^2＋Ｐ5（ａ−ｆ）^2＋Ｐ6（ｂ−ｃ）^2＋Ｐ7（ｂ−ｄ）^2＋Ｐ8（ｂ−ｅ）^2＋Ｐ9（ｂ−ｆ）^2＋Ｐ10（ｃ−ｄ）^2＋Ｐ11（ｃ−ｅ）^2＋Ｐ12（ｃ−ｆ）^2＋Ｐ13（ｄ−ｅ）^2＋Ｐ14（ｄ−ｆ）^2＋Ｐ15（ｅ−ｆ）^2

　　Ｐ1＝（１２（ａ^4＋ａ^3ｂ＋ａ^2ｂ^2＋ａｂ^3＋ｂ^4）＋３（ａ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2）（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ）＋２（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｃｄ＋ｃｅ＋ｃｆ＋ｄｅ＋ｄｆ＋ｅｆ）＋３（ａ＋ｂ）（ｃｄｅ＋ｃｄｆ＋ｃｅｆ＋ｄｅｆ）＋１２ｃｄｅｆ）／６０

の場合は各Ｐiが５４個の平方の和であるから，８１０個の実数係数多項式の平方の和で表される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ここで，２ｎ次の２ｎ｛Ａ（ｘ^2n）−Ｇ（ｘ^2n）｝：

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−２ｎｘ1ｘ2・・・ｘ2n

について考えてみよう．

　　［参］ハーディ・リトルウッド・ポーヤ「不等式」シュプリンガー・フェアラーク東京

の方法：

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2・・・ｘn^2

　　　＋ｘn+1^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−ｎｘn+1^2・・・ｘ2n^2

　　　＋ｎ（ｘ1・・・ｘn−ｘn+1・・・ｘ2n）^2

より，

　　ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＋ｗ^4−４ｘｙｚｗ

　＝ｘ^4＋ｙ^4−２ｘ^2ｙ^2＋ｚ^4＋ｗ^4−２ｚ^2ｗ^2＋２（ｘｙ−ｚｗ）^2

　＝（ｘ^2−ｙ^2）^2＋（ｚ^2−ｗ^2）^2＋２（ｘｙ−ｚｗ）^2

は１・２＋１＝３個の多項式の平方の和であり，また，

　　ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−６ｘｙｚｕｖｗ

　＝ｘ^6＋ｙ^6＋ｚ^6−３ｘ^2ｙ^2ｚ^2＋ｕ^6＋ｖ^6＋ｗ^6−３ｕ^2ｖ^2ｗ^2＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2

　＝１／２（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）｛（ｙ^2−ｚ^2）^2＋（ｚ^2−ｘ^2）^2＋（ｘ^2−ｙ^2）^2｝＋１／２（ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2）｛（ｖ^2−ｗ^2）^2＋（ｗ^2−ｕ^2）^2＋（ｕ^2−ｖ^2）^2｝＋３（ｘｙｚ−ｕｖｗ）^2

は９・２＋１＝１９個の多項式の平方の和となる．

　２ｎ＝４，２ｎ＝６の場合は簡単な明示的２次形式となったが，２ｎ＝８では

　　ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8＋ｐ^8＋ｑ^8＋ｒ^8＋ｓ^8−８ａｂｃｄｐｑｒｓ　＝ａ^8＋ｂ^8＋ｃ^8＋ｄ^8−４ａ^2ｂ^2ｃ^2ｄ^2＋ｐ^8＋ｑ^8＋ｒ^8＋ｓ^8−４ｐ^2ｑ^2ｒ^2ｓ^2＋４（ａｂｃｄ−ｐｑｒｓ）^2

となり，因数分解できない形

　　ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＋ｗ^4−４ｘｙｚｗ

が現れるため，明示的な２次形式とするためには

　　４８・２＋１＝９７項

にもなってしまう．

　２ｎ＝１０，２ｎ＝１２の場合もそれぞれ

　　２００・２＋１＝４０１項

　　８１０・２＋１＝１６２１項

となり簡単な形にはならないのだが，それでは最小項数の２次形式の和として表すためにはどのようにすればよいのだろうか？

　　［参］ハーディ・リトルウッド・ポーヤ「不等式」シュプリンガー・フェアラーク東京

の計算法は，例えば，３ｎ次の３ｎ｛Ａ（ｘ^3n）−Ｇ（ｘ^3n）｝：

　　Ｆ＝ｘ1^3n＋ｘ2^3n＋・・・＋ｘ3n^3n−３ｎｘ1ｘ2・・・ｘ3n

にはうまく拡張できないので，２ｎ次の場合

　　Ｆ＝ｘ1^2n＋ｘ2^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−２ｎｘ1ｘ2・・・ｘ2n

　　　＝ｘ1^2n＋・・・＋ｘn^2n−ｎｘ1^2・・・ｘn^2

　　　＋ｘn+1^2n＋・・・＋ｘ2n^2n−ｎｘn+1^2・・・ｘ2n^2

　　　＋ｎ（ｘ1・・・ｘn−ｘn+1・・・ｘ2n）^2

が最善なのかもしれないが，まだまだ疑問が残るところである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝