周期的かつ一様（すべての頂点の状況が一様）な平面充填形としては

［１］プラトンの充填形（，正六角形正方形，正三角形）

［２］アルキメデスの充填形（８種類）

の１１種類が知られている．

　立方体の表面に立方体を６等分した四角錐を６個貼り付けると菱形１２面体が得られる．あるいは，正八面体の表面に正四面体を４等分した三角錐を８個貼り付けると菱形１２面体が得られる．

　菱形十二面体は１種類で空間充填可能な立体で，最も密に空間を充填する形状である．蜂の巣といっても単純な六角柱ではなく，底面においては菱形十二面体の形状をしていることが知られている．

　正八面体を各辺の１／３の点で切頂する．あるいは，立方体を各辺の３／４の点で切頂すると，切頂八面体が得られる．

　準正多面体のひとつである切頂八面体も単独で空間充填できる．菱形十二面体が最も密に空間を充填する形状であるのに対して，最も表面積が小さい充填形であり，泡の中に多くみられるのはこの理由による．

　正四面体と正八面体はそれぞれ単独では空間充填することができないが，同時に用いることによって空間充填形（オクテット・トラス構造）を作ることができる．２つの正四面体と１つの正八面体が空間を充填する平行六面体を構成するするからである．

　正四面体と正八面体の二面角はそれぞれ

　　ａｒｃｃｏｓ（１／３）＝７０．５４°

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４６°

であるため，オクテット・トラス構造では，ひとつの稜線のまわりに２個ずつ配置されることがわかる．

　切頂八面体が体心立方格子状に空間を充填する形状であるのに対して，正四面体と正八面体による空間充填形の頂点の配置は，最密充填構造である面心立方格子状に配列されている．

　単純立方格子のディリクレ領域は立方体，面心立方格子のディリクレ領域は菱形１２面体，体心立方格子のディリクレ領域は切頂八面体，ダイヤモンド格子のディリクレ領域は空間充填１６面体（切頂四面体の正三角形面に正四面体を４等分した三角錐を４個貼り付けた形の多面体）である．

　コクセターにより発見された３種類のねじれ正多面体（正則無限多面体）は２つの格子状のトンネルで空間を２分するという特徴をもっている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　平行四辺形と平行録変形のみが一定方向性の下に平面を充填する．ロシアの結晶学者フェドロフはたった５種類の凸多面体だけが一定方向性の下に空間を充填することを証明した．

　平行六面体，平行六角柱，切頂八面体，菱形１２面体，長菱形１２面体の５種類で，すべてゾーン多面体の仲間である．ゾーン多面体の辺は１点から空間に星形に発散する一群のベクトル星（vector star）と平行になっている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝