正多角形の作図は円周等分問題という幾何学問題ですが，ｘ^n−１＝０という代数方程式の解と密接な関係にあります．正５角形の作図は黄金比と関連していて，２次方程式：ｘ^2−ｘ−１＝０を解く，すなわち（√５＋１）／２を求めることによって可能となりました．ギリシャ人は黄金分割を用いた見事な方法で正五角形の作図に成功したのですが，この方法は二次方程式の幾何学的解法を利用した賢明な方法といえます．

　一方，正７角形，正９角形はそれぞれ３次方程式：ｘ^3＋ｘ^2−２ｘ−１＝０，ｘ^3−３ｘ＋１＝０に帰着します．したがって，正７角形，正９角形の作図や倍積問題のように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けません．

　ところが，リンク装置を使えば角を３等分できます．また，近年になって折り紙を使っても角の３等分が可能であることが示されました．また，折り紙を使えば倍積問題が解けます．折り紙は３次方程式・４次方程式を解く力をもっているというわけです．４次を超える能力はありませんが・・・．

　定規とコンパスでは正７，９，１１，１３，１４，・・・角形を構成できませんが，折り紙では２^u３^v＋１という形の素数になるとき構成することができますから，構成できない最小の正ｎ角形はｎ＝１１であり，以下２２，２３，２５，２９，・・・と続き，より多くの正多角形を構成することができます．

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【１】折り紙を使って倍積問題を解く

　　［参］ゲレトシュレーガー「折り紙の数学」森北出版，ｐ３４

には，ピーター・メッセルによる折り紙を使ったすばらしく簡単で見事な3√２の求め方が紹介されている．

　この方法では正方形の辺を３等分しなければならないが，これにはいくつも方法があるらしい．ここでは（その５）で紹介した辺の３等分点法を推奨しておきたい．

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