ポアンカレ予想は「任意の３次元閉多様体Ｍ^3は３次元球面Ｓ^3に同相か？」というトポロジーに関する問いかけである．トポロジーは曲げたり伸ばしたりの連続変形を施しても変わらないようなものを研究する分野であるが，３次元空間に浮かんだタマゴのような２次元曲面（２次元多様体）は２次元球面Ｓ^2と同相である．コーヒカップのように取っ手をもつ立体は球と同相ではない．

　１９６１年，ゼーマンは５次元立体に対するポアンカレ予想を肯定的に証明した．同年スメールは７次元以上のすべての立体に対して，翌年ストーリングスは６次元立体に対して，１９８２年，フリードマンが４次元立体に対する証明を与えた．これで残るはただひとつ，４次元空間に浮かんだ３次元立体だけとなった．４次元空間における３次元曲面（３次元多様体）が３次元球面Ｓ^3と同相であるかどうかだけがとり残されたことになる．

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　２００３年春にロシアの数学者ペレルマンがポアンカレ予想を解決したというニュースが伝えられました．当時，ポアンカレ予想はサーストンの幾何化予想の系として解決されたとアナウンスされ，その後，専門家の間で彼のプレプリントが検討され，証明をチェックする作業に遅れがでているものの全体としては解決の方向に向かっていることが確認されているとのことでした．

　サーストンの幾何化予想とは，３次元多様体は８つの異なる基本的要素に分解できるというもので，サーストンはいくつかの仮定の上でこの予想を証明しました．この業績のためにサーストンは１９８３年にフィールズ賞を受けています．また，ハミルトンはリッチ流を利用して，いくつかの制約条件のもとで，３次元多様体の基本的要素は８つの形しか取りえないことを証明しました．しかし，仮定なしの一般的バージョンに関する限り，依然として未証明だったのです．

　ペレルマンは，リッチ流の理論をサーストンの幾何化予想の一般的バージョンに拡張させることに成功したのです．ペルレマンの証明に対しては詳細な検証が必要ですが，証明の欠陥はみつからず，主張に誤りがないことが確認されたいうわけです．

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