単位行列は

　　Ｅ＝［１，０］

　　　　［０，１］

　パウリ行列は

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

の３組の２×２行列で与えられるのですが，いずれも２乗すると単位行列になります．

　　σx^2＝Ｅ，σy^2＝Ｅ，σz^2＝Ｅ

　また，行列のかけ算は非可換なのですが，パウリ行列では，

　　σxσy＝ｉσz，σyσx＝−ｉσz

のように符号が逆となり，

　　σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　σxσy−σyσx＝２ｉσz

のような関係が成立します．

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［１］σx^2＝Ｅ，σy^2＝Ｅ，σz^2＝Ｅ，σxσyσz＝ｉＥ

［２］σx＝ｉＩ，σy＝ｉＪ，σz＝ｉＫとおくと，

　　Ｉ^2＝−Ｅ，Ｊ^2＝−Ｅ，Ｋ^2＝−Ｅ，ＩＪＫ＝−Ｅ

［３］ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）（ａ−ｂｉ−ｃｊ−ｄｋ）

の因数分解は複素数の範囲で考えていてもダメで，四元数はまで数を拡張することによって初めて可能になる．物理学者のディラックはこれに注目して，ラプラシアンを因数分解した．

　　（∂^2／∂ｘ^2＋∂^2／∂ｙ^2＋∂^2／∂ｚ^2）Ｅ＝（∂σx／∂ｘ＋∂σy／∂ｙ＋∂σz／∂ｚ）^2

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