数学者ポリアは，１９３７年に環指数や数え上げ多項式という武器を使った置換群の議論によって，飽和炭化水素やその誘導体の異性体の数え上げ問題を解いた．それによればＣ12Ｈ26の異性体の理論的な数は３５５もあるという．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正多面体群に対する置換群的アプローチ

　ＳＯ（３）はＲ^3の回転全体のなす群である．正多面体の回転を考えると，

　　(1)頂点と原点を通る軸を中心とした２πｋ／ｑ回転

　　(2)辺の中心と原点を通る軸を中心としたπ回転

　　(3)面の重心と原点を通る軸を中心とした２πｋ／ｐ回転

の３つが可能な回転軸である．

　これらの回転によって，正４面体（位数１２）では４つの頂点の偶置換を引き起こすので４次交代群Ａ4と同型，正８面体（位数２４）では対面する面は４組あり，これらの組の置換を引き起こすので４次対称群Ｓ4と同型，正２０面体（位数６０）では３０個の辺を５組に分ける偶置換として作用するので５次交代群Ａ5と同型になることがわかる．

　ＳＯ（３）の有限部分群Ａ4，Ｓ4，Ａ5はＲ^3の５種類の正多面体と密接な関係があり，総称して「正多面体群」と呼ばれている．正多面体の回転群は３次の特殊直交群ＳＯ（３）の有限部分群である．

　ＳＯ（３）にはこのほかに２種類の有限部分群がある．一つは巡回群，もうひとつは正２面体群であり，これらでＳＯ（３）の有限部分群をつくすことが知られている．つくすというのは，共役を除いてただ一通り存在するという意味である．正２面体群とＡ4，Ｓ4，Ａ5とを併せて（広義の）正多面体群と呼ぶこともある．

　以上より，ＳＯ（３）の有限合同変換群は，

　　(1)巡回群（Ｃn：位数ｎ）

　　(2)正２面体群（Ｄ2n：位数２ｎ）

　　(3)４次交代群（Ａ4：位数１２）←→正４面体群と同型

　　(4)４次対称群（Ｓ4：位数２４）←→正６（８）面体群と同型

　　(5)５次交代群（Ａ5：位数６０）←→正１２（２０）面体群と同型

のいずれかである．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　このような幾何学的・直観的にアプローチした結果だけを見ると，ＳＯ（３）の有限部分群の分類問題は容易に解けたように見えるかもしれない．ところが，それとは裏腹に，群論的な分類方法はかなり複雑である．ここでは正攻法すなわち群論的に考えることにする．

　群Ｇの元の個数は｜Ｇ｜と書かれ，Ｇの位数と呼ばれる．シローの定理により，群Ｇの位数｜Ｇ｜を割るすべての素数ｐに対するシローｐ部分群が複雑に絡み合って群Ｇ全体の構造が決まってくる．

　ここで，証明を相当部分端折ることになるのだが，置換群的アプローチによって，

　　１＋２／｜Ｇ｜＝１／｜Ｇ1｜＋１／｜Ｇ2｜＋１／｜Ｇ3｜

が得られる．Ｇ1，Ｇ2，Ｇ3はＧの部分群であり，固定化群と呼ばれる．また，｜Ｇ1｜≧｜Ｇ2｜≧｜Ｇ3｜としても一般性を失わない．

　こうして得られた｜Ｇ1｜，｜Ｇ2｜，｜Ｇ3｜，｜Ｇ｜を一覧表にすると，

　　　　　　｜Ｇ1｜　　｜Ｇ2｜　　｜Ｇ3｜　　｜Ｇ｜

　　Ｄ2n　　　ｎ　　　　　２　　　　２　　　　２ｎ

　　Ａ4 　　　３　　　　　３　　　　２　　　　１２

　　Ｓ4 　　　４　　　　　３　　　　２　　　　２４

　　Ａ5 　　　５　　　　　３　　　　２　　　　６０

になる．

　少し補足しておきたい．Ｄ2n型部分群は正２面体群である．前述したように，巡回群は正２面体群の部分群となっている．４文字１，２，３，４の置換全体のなす群が４次対称群Ｓ4で，その位数は４！＝２４である．Ｓ4は２つの生成元ａ，ｂによって生成され，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^4＝（ａｂ）^2＝１

４次交代群Ａ4はＳ4中の偶置換（偶数個の互換の積）全体からなる部分群で，位数は２４／２＝１２，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^3＝（ａｂ）^2＝１

また，５次交代群Ａ5の位数は，５次対称群の位数が５！＝１２０であるから，１２０／２＝６０，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^5＝（ａｂ）^2＝１

となる．

　Ａ4，Ｓ4，Ａ5の３つの群は，Ｒ^3の５種類の正多面体と密接な関係にあり，Ｓ4は正６面体（正８面体：中心に関して点対称）を変えぬ運動の集合，Ａ4は正４面体（点対称性はもたないが，面対称性をもっている）を変えぬ運動の集合，Ａ5は正１２面体（正２０面体：中心に関して点対称）を変えぬ運動の集合であって，総括して正多面体群と呼ばれている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝