■群と魔方陣（その２）
前回のコラムでは，ｎ＝４の場合の魔方陣の作り方を示しませんでしたが，まったく無関係に思える有限アフィン幾何が４次の魔方陣を作るのに役立ちます．
各直線上にｎ＋１個ずつの点があるのが「有限アフィン平面」で，ｎが素数または素数の累乗のとき有限アフィン平面は存在します．そして，有限アフィン平面の存在は，ｎ−１組の互いに直交するラテン方陣の存在と同値であって，この逆も成り立ちます．すなわち
『ｎ次の有限アフィン平面の存在←→（ｎ−１）個の互いに直交するラテン方陣の存在』
［参］佐藤肇，一楽重雄「幾何の魔術」日本評論社
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【１】４次の魔方陣と有限アフィン平面Ｆ4×Ｆ4
ｎ＝４のとき，積の算法をｍｏｄ４での余りとすると
× ０ １ ２ ３
０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３
２ ０ ２ ０ ２
３ ０ ３ ２ １
ですから，Ｚ4は体にはなりません．
それでは，４個の要素からなる体を導入することはできないのでしょうか？そこで，前回のコラムのように拡大体Ｆ2^2を２次のモニックな既約多項式
ｘ^2＋ｘ＋１
について考えると，集合｛ａｘ＋ｂ｜ａ，ｂはＺ2の要素｝は
Ｆ4＝｛０，１，ｘ，ｘ＋１｝
の４個の剰余類からなります．
ａｘ＋ｂをａｂとして２進数表示すれば，集合としては
Ｆ4＝Ｆ2^2＝｛００，０１，１０，１１｝＝｛０，１，２，３｝
加算はビットごとのＦ2の加法なので省略して，かけ算だけを示しますが，
ｘ^2＝−ｘ−１＝ｘ＋１ （Ｆ2では−１＝１）
に置き換えると
× ０ １ ｘ ｘ＋１
０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ｘ ｘ＋１
ｘ ０ ｘ ｘ＋１ １
ｘ＋１ ０ ｘ＋１ １ ｘ
すなわち
× ０ １ ２ ３
０ ０ ０ ０ ０
１ ０ １ ２ ３
２ ０ ２ ３ １
３ ０ ３ １ ２
より，Ｆ4は４つの要素からなる体であることが確認されます．
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ところで，１本の直線上にｎ個の点があるアフィン平面をｎ次のアフィン平面と呼びます．有限アフィン平面Ｆq×Ｆqは
｛（ｘ，ｙ）｜ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙはＦqに属する｝
で定義されるものです．ただし，ａ＝ｂ＝０です．
ｎ次のアフィン平面では１点を通る直線はｎ＋１本で，ｎ^2個の点がありますから，全部で
ｎ^2（ｎ＋１）／ｎ＝ｎ（ｎ＋１）
本の直線があります．
最も簡単な有限アフィン平面はＺ2×Ｚ2で，４個の点を四面体状に結んだものです．また，ｎ次のアフィン平面上では平行な直線はｎ本あり，平行な直線同士を集めた組がｎ＋１組あります．
Ｆ4×Ｆ4の場合，ａ＝ｂ＝０ではない（ａ，ｂ，ｃ）の組は４^3−４＝６０通りあり，このうち３組ずつが同じ直線を表しますから，直線の数は全部で２０本です．そのうち，（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，０）の直線ｌ9は（ｘ，ｙ）＝（０，０），（１，１），（ｚ，ｚ），（ｚ＋１，ｚ＋１）を通ります．
０＋０＝０
１＋１＝２＝０
ｚ＋ｚ＝２ｚ＝０
ｚ＋１＋ｚ＋１＝２ｚ＋２＝０＋０＝０
また，（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１），（１，１，ｚ），（１，１，ｚ＋１）の直線ｌ10，ｌ11，ｌ12はｌ9と（ａ，ｂ）が同じでｃが異なりますから平行です．このように，Ｆ4×Ｆ4には互いに平行な直線が４本ずつ５組あります．
ここで，
Ｌ0＝ｌ9，Ｌ1＝ｌ10，Ｌ2＝ｌ11，Ｌ3＝ｌ12
とおいて，
Ｌ0が（ｉ，ｊ）を通るとき升目に０を入れる
→Ｌ1が（ｉ，ｊ）を通るとき升目に１を入れる
→Ｌ2が（ｉ，ｊ）を通るとき升目に２を入れる
→Ｌ3が（ｉ，ｊ）を通るとき升目に３を入れる
を繰り返すと，ラテン方陣
× ０ １ ｚ ｚ＋１
０ ０ １ ２ ３
１ １ ０ ３ ２
ｚ ２ ３ ０ １
ｚ＋１ ３ ２ １ ０
が得られます．
別のセット
（Ｌ0，Ｌ1，Ｌ2，Ｌ3）＝（ｌ17，ｌ18，ｌ19，ｌ20）
からも同様に，ラテン方陣
× ０ １ ｚ ｚ＋１
０ ０ １ ２ ３
１ ３ ２ １ ０
ｚ １ ０ ３ ２
ｚ＋１ ２ ３ ０ １
が得られるのですが，この２つのラテン方陣は直交していて，これらを組み合わせると，グレコ・ラテン方陣になります．
［０，１，２，３］ ［０，１，２，３］ ［００，１１，２２，３３］
［１，０，３，２］＋［３，２，１，０］＝［１３，０２，３１，２０］
［２，３，０，１］ ［１，０，３，２］ ［２１，３０，０３，１２］
［３，２，１，０］ ［２，３，０，１］ ［３２，２３，１０，０１］
この２つのラテン方陣はたまたま都合よく直交していたのではなく，ｎ次のアフィン平面があれば，互いに直交するｎ−１個のラテン方陣が存在することが証明されています．
そして，４進数を１０進数に直すと４次の魔方陣となります．
［００，１１，２２，３３］ ［ ０， ５，１０，１５］
［１３，０２，３１，２０］＝［ ７， ２，１３， ８］
［２１，３０，０３，１２］ ［ ９，１２， ３， ６］
［３２，２３，１０，０１］ ［１４，１１， ４， １］
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【２】グレコ・ラテン方陣の存在・非存在
すべてのｎに対してグレコ・ラテン方陣は存在するのでしょうか？ また，そうでないとしたらどのようなｎに対してグレコ・ラテン方陣は存在するのでしょう？
ｐ次のグレコ・ラテン方陣とｑ次のグレコ・ラテン方陣があれば，ｐ×ｑ次のグレコ・ラテン方陣を作ることができます．また，グレコ・ラテン方陣はｎが奇数のときと４の倍数のときに可能であることがわかっていて，
ｎ＝２^q×ｌ，ｌは奇数，ｑ≧２
とすると，ｌは奇数ですからｌ次のグレコ・ラテン方陣は存在します．２^q個の元からなる体は存在し，したがって，２^q次のアフィン平面も存在するので，２^q次のグレコ・ラテン方陣は存在しますから，２^q×ｌ次のグレコ・ラテン方陣も可能であることがわかります．
結局，ｑ＝１の場合，すなわち，
ｎ＝２×ｌ＝２（２ｋ＋１）＝４ｋ＋２
の場合だけが残ります．
１７８２年，オイラーはｎ＝４ｋ＋２（２の奇数倍）のときグレコ・ラテン方陣は不可能と予想し，そして１９０３年にタリーがｋ＝１すなわちｎ＝６の場合があることをしらみつぶしの方法によって証明しました．
ｎが素数または素数の累乗のときには有限アフィン平面は存在しますが，ｎ＝６のときには不存在であることが証明できるようです．有限アフィン平面の存在はｎ−１組の互いに直交するラテン方陣の存在と同値ですから，これは５個の互いに直交するラテン方陣がないことを主張しているのであって，直交するラテン方陣が一組も存在しないかについて何もいっていないことになります．
１９０３年，タリーによって６次のグレコ・ラテン方陣は不可能であることが証明されているのですが，６次のアフィン平面は存在しないので，直交するラテン方陣が一組も存在しませんという言明は正しくなく，したがって，その証明はしらみつぶしの方法によるしかないのです．
その後，１９５９年になって，ボーズ，シュリカンデ，パーカーによって，ｎが２２や１４のときに可能なことがわかると，せきをきったように一般的な作り方がわかっていき，最も困難だったｎ＝１８の場合も攻略され，１年ほどでｎ≧１０であるｎ＝４ｋ＋２という形の数すべてについて，互いに直交するラテン方陣が存在することが判明しました．１７７年にわたる難問の解決は当時の世界に大きな衝撃を与え，New York Timesのトップ記事として報道されたのですが，数学に関する取り扱いとしては空前絶後のものでした．
たとえば，１０次のグレコ・ラテン方陣
［００，４７，１８，７６，２９，９３，８５，３４，６１，５２］
［８６，１１，５７，２８，７０，３９，９４，４５，０２，６３］
［９５，８０，２２，６７，３８，７１，４９，５６，１３，０４］
［５９，９６，８１，３３，０７，４８，７２，６０，２４，１５］
［７３，６９，９０，８２，４４，１７，５８，０１，３５，２６］
［６８，７４，０９，９１，８３，５５，２７，１２，４６，３０］
［３７，０８，７５，１９，９２，８４，６６，２３，５０，４１］
［１４，２５，３６，４０，５１，６２，０２，７７，８８，９９］
［２１，３２，４３，５４，６５，０６，１０，８９，９７，７８］
［４２，５３，６４，０５，１６，２０，３１，９８，７９，８７］
では，１≦（ｉ，ｊ）≦７の場合と８≦（ｉ，ｊ）≦１０の場合で作り方が違っていて，１０＝３＋７＝３＋（１＋２×３）と分解することによって，２個の直交するラテン方陣を作り出しています．
こうして，オイラーの予想は覆され，ｎ＝２と６の場合だけグレコ・ラテン方陣が不可能であることが判明したのでした．
なお，６次の魔方陣は存在し，
［００，０１，０２，３３，３４，３５］
［３０，３１，１４，０３，２２，０５］
［２９，２８，２７，０８，０７，０６］
［１１，１０，０９，２６，２５，２４］
［２３，１９，２１，２０，０４，１８］
［１２，１６，３２，１５，１３，１７］
は和算家・久留島義太の手作りとされるものです．
この６進数版は
［００，０１，０２，５３，５４，５５］
［５０，５１，２２，０３，３４，０５］
［４５，４４，４３，１２，１１，１０］
［１５，１４，１３，４２，４１，４０］
［３５，３１，３３，３２，０４，３０］
［２０，２４，５４，２３，２１，２５］
ですが，グレコ・ラテン方陣にならないことはすぐにわかります．
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【３】有限射影平面
アフィン平面では平行な直線が存在しましたが，しかし，すべての直線が交点をもつとしても矛盾を生じない幾何学の体系を考えることができます．
アフィン平面に無限遠点，無限遠直線を加えて完備化すると射影平面が得られますが，完備化により点の数がｎ＋１個，直線が１本増えます．したがって，ｎ次射影平面における点の数はｎ^2＋ｎ＋１，直線の数もｎ（ｎ＋１）＋１＝ｎ^2＋ｎ＋１で等しくなります．たとえば，２次の射影平面は７つの点，７本の直線よりなります．このことが射影平面の双対性と結びついてきます．
デザルグの定理やパップスの定理は有限射影平面でも成立します．そして可換体ばかりでなく乗法の交換法則を満たさない非可換体（斜体）から作られる射影平面においてもこれらの定理が成立します．
そして，ｎ次のアフィン（射影）平面が存在すれば，方程式
ｚ^2＝ｎｘ^2＋(-1)^((n(n+1)/2)ｙ^2
がすべて０でない整数解をもつことが示されています．たとえば，ｎ＝６の場合，
ｚ^2＝６ｘ^2−ｙ^2
が整数解をもたないことを示すことができるので，６次のアフィン（射影）平面は存在しません．
さらに，ｎ＝４ｋ＋１，４ｋ＋２の場合にｎ次のアフィン（射影）平面が存在すれば，
ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2
となる整数が存在するということも証明されています．このことからｎ＝６，１４，２１，２２，・・・の場合，ｎ次のアフィン（射影）平面が存在しないことがわかります．
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【補】共線定理
３点あるいはそれ以上の点が一直線上にあることを主張する定理は共線定理と呼ばれます．デザルグの定理やパップスの定理が共線定理の例ですし，あるいは三角形の外心と重心と垂心はその順番に一直線上に並んでいて，外心と垂心を結ぶ線分が重心によって１：２に内分されています．この共線はオイラー線と呼ばれています．ここでは，パスカルの定理とニュートンの定理を紹介します．パスカルもニュートンも，少年時代はみんなパズルずきの幾何少年だったのです．
＜ニュートンの定理＞
四辺形ＡＢＣＤの２組の対辺の延長の交点をＥ，Ｆ，対角線ＢＤの中点をＬ，対角線ＡＣの中点をＭ，線分ＥＦの中点をＮとすれば，３点Ｌ，Ｍ，Ｎは一直線上にある．
＜パスカルの定理＞
円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．
パスカルはこの有名な定理をわずか１７才の時に発見したのですが，これは射影幾何学の基本定理の一つになっています．射影幾何学とは，長さや角の大きさに無関係に，例えば，いくつかの点がある直線上にあるといった関係，射影によって不変な図形の性質，を研究する学問です．パスカルの定理の重要な系が「円錐曲線は任意の５点で一意に定まる」です．
２次曲線は円（ｅ＝０）として生まれ，楕円に育ち，放物線（ｅ＝１）で相転移して双曲線になる．漸近線のなす角度は最初鋭角だがだんだん大きくなり，１８０°になった時点（ｅ＝∞）で虚領域に入る．そして再び円に生まれ変わる．楕円の面積は有限，放物線の面積は∞，この考え方を延長すると双曲線の面積は虚数ということになる・・・というのがケプラーの原理ですが，射影平面上では，円錐曲線はただ１種類しかなく，双曲線・放物線・楕円などの区別はなく，どれも同種の曲線となります．
また，射影平面上では点という語と直線という語を入れ替えても定理は成り立っています．これをポンスレーの双対原理と呼び，射影幾何学の最も美しい特質です．パスカルの定理から１５０年以上たって，その双対にある共点定理「円錐曲線の外接する６辺形の対角線は１点で交わる」が発見されたのですが，それがブリアンションの定理です．
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【補】有限体上の幾何学の変換群
幾何学に群を積極的に応用することを最初に主張したのが，クラインのエルランゲン・プログラム「幾何学とは変換群で不変な図形の性質を研究する分野」である．ここでは有限体上の幾何学の変換群がどのようなものになるのかをみてみたい．
Ｈq＝｛ｚ｜ｘ＋ｙ√δ，ｘ，ｙはＦq，ｙ≠０｝
を考える．これは複素上半平面Ｈの有限版で，実軸に相当するものが有限体Ｆq，δはＦqの非平方元の一つであって，√δが√（−１）に相当するものである（ｘ＝ｇ（ｇ（ｘ））となるｇのひとつを√ｘと記すことにする）．
複素数体の場合に倣って，共役，ノルム，トレースを
ｚ~＝ｘ−ｙ√δ
Ｎｚ＝ｘ^2−δｙ^2
Ｔｒｚ＝ｚ＋ｚ~
とおく．
次にＦq上の一般線形群を
Ｇ＝ＧＬ（２，Ｆq）
ｇ＝［ａ，ｂ］
［ｃ，ｄ］
として，
ｇ（ｚ）＝(az+b)/(cz+d)＝ｘq＋ｙq√δ
とおくと
ｘq＝(acNz+bd+x(ad+bc))/N(cz+d)
ｙq＝y(ad-bc)/N(cz+d)≠０
となり，Ｈqの２点ｚ＝ｘ＋ｙ√δ，ｗ＝ｕ＋ｖ√δの距離は
ｄ（ｚ，ｗ）＝｛（ｘ−ｕ）^2−δ（ｙ−ｖ）^2｝／ｙｖ
で与えられる．
複素数体の算法との違いは，たとえば，Ｆ23においては
１／３＝８，２／８＝１６
８・１６＝１３，１３・９・１７／２^2＝２０，
２０・１０・１８／３^2＝９，９・１１・１９／４^2＝４
のようになることだけである．しかし，このことによってｄ（ｚ，ｗ）はＦqの元となる．
こうして，
ｇ＝［ａ，ｂ］
［ｃ，ｄ］
とするとき
ｄ（ｇ（ｚ），ｇ（ｗ））＝ｄ（ｚ，ｗ）
が成立し，「長さ」を変えない変換群となる，
たとえば，アフィン群は
Ａｆｆ（ｑ）＝｛［ｙ，ｘ］｜ｘ，ｙはＦq に属する｝
｛［０，１］｜ｙ≠０ （ｍｏｄｑ）｝
で定義されるものになるのである．
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