３次元準正多面体については古くから知られていたが，４次元以上の準正多胞体については，１９世紀中頃，シュレーフリが一部言及したことに始まる．その後，コクセターが詳しく研究したが，５次元以上の準正多胞体についてはコクセターの研究のごく一部に理論的な記述がみられるものの，具体的な研究はこれまで皆無に近かった．

　特殊なクラスについては，ミンコフスキーが原始的平行多面体として取り上げた２（２^n−１）胞体などがあるが，私の知る限り，

　　石井源久「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに関する研究」

　　Motonaga Ishii: On a Generel Method to Calculate Vertices of N-Dimensional Product-Regulat Polytopes, Forma 14,.221-237,1999

が具体的で本格的な図形研究の最初のものであろう．

　これまで体積公式や面数公式が知られている高次元多面体は，

　　正単体αn，正軸体βn，超立方体γn，超球Ｂn

それに標準単体Δn，角錐Ｐｙｒnを加えても少数にすぎない．他に体積やｋ次元面数（ｋ＝０〜ｎ−１）の計算が可能な高次元準多面体はないのだろうか？

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【１】高次元準正多面体の種類と重要な３つのクラス

　３次元正多面体は５種類あり，正四面体は自己双対である．３次元準正多面体は１３種類あり，製作法から

　　切頂型・・・７種類

　　切頂切稜型・・・４種類

　　ねじれ型・・・２種類

と分類される．ねじれ型は特殊型であって，これの高次元対応物がいくつあるかはわかっていない．そのため，今後は切頂型・切頂切稜型準正多胞体のみ扱うことにする．

　４次元正多胞体は６種類あり，正５胞体，正２４胞体は自己双対である．５次元以上の正多胞体は３種類あり，正ｎ＋１胞体は自己双対である．非自己双対の場合，切頂型・切頂切稜型準正多胞体は

　　２^n−１

自己双対の場合，切頂型・切頂切稜型準正多胞体は

　　２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−１

種類ある．

　３次元のねじれ立方体とねじれ１２面体に相当する特殊型は取り扱わないことにするが，重複するものを除くことによって，下表が得られる．

次元　　正多胞体　　準正多胞体

３　　　　　　５　　　　　１１（重複３を除く：７×２＋５−５−３）

４　　　　　　６　　　　　３９（重複３を除く：１５×２＋９×２−６−３）

５　　　　　　３　　　　　４７

６　　　　　　３　　　　　９５

ｎ（≧５）　　３　　　　　２^n＋２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−５

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　上の表は石井源久先生によって得られたものである．しかし，これらが一律に重要というわけではなく，この中から重要な３つのクラスを取り上げることができる．

　第１のクラスは，ミンコフスキーが原始的平行多面体として取り上げた２（２^n−１）胞体である．とくに，primitive,principal,maximalの条件を備えたものは置換多面体（permutahedron）と同値であって，多面体的組み合わせ論の重要な研究対象となってきた．にも関わらず，その面数公式は先人達の挑戦を退けてきた難題となっている．

　さらに，これまで知られていなかった２つの重要なクラス，ひとつは置換多面体の正軸体版とみなすことができる３^n−１胞体，もうひとつには平行多面体と同じく空間充填性をもつ２^n＋２ｎ胞体を構成し，その面数公式・体積公式について考えてみる．

　とくに，ｎ＝３のとき，空間充填２（２^n−１）胞体と空間充填２^n＋２ｎ胞体は同形（切頂八面体）になることを注意しておく．切頂八面体はすべての次元を通じて唯一，空間充填２（２^n−１）胞体かつ空間充填２^n＋２ｎ胞体という性質をもつ多面体である．このことは３次元平行多面体の元素数が１であることと密接に関係している．

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【２】３つのクラスの構成法と重要な性質

　まず，準多面体構成法を考えると

　　正単体切頂型（２（ｎ＋１）胞体）

　　正軸体切頂型（２^n＋２ｎ胞体）

　　正単体切頂切稜型（２（２^n−１）胞体）

　　正軸体切頂切稜型（３^n−１胞体）

の４クラスの分類にされるが，このうち，正単体切頂型はあまり重要な性質を持ち合わせおらず，残りの３つが重要となることがおわかりいただけるであろう．

　　　　　　　　　　　　単独空間充填多面体　　単純ゾノトープ

　　正単体切頂型　　　　　　　　×　　　　　　　　　×

　　正軸体切頂型　　　　　　　　○　　　　　　　　　×

　　正単体切頂切稜型　　　　　　○　　　　　　　　　○

　　正軸体切頂切稜型　　　　　　×　　　　　　　　　○

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【３】２^n＋２ｎ胞体

［１］体積公式

　立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについて，角砂糖の各頂点まわりを正八面体状に少しずつ切断し，削ってできた空間は常に多面体で充填することを考える．

　すなわち，２種類の多面体による空間充填を常に保ったまま相互遷移させると，中間値の定理（のアナログ）により２種類の多面体が同形となる値が存在する．そのとき，この図形は単一空間充填図形となる．

　計算は後述するが，空間充填２^n＋２ｎ面体は

［１］ｎ次元立方体［０，２］^nを超平面：ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で切頂する

あるいは

［２］ｎ次元正軸体を超平面：ｘ1＝２／ｎで切頂する

ことによって得られる．ｘ＝２／ｎで正軸体βnを切頂すると，ｎ次元切頂八面体βn(x)を構成することができる．

　２次元では正方形，３次元では切頂八面体，４次元では正２４胞体となる．このようにβn(x)は空間充填２^n＋２ｎ面体であり，その体積は，ｎ次元切頂八面体の切頂面間距離が４／ｎであることから，

　　ｖｏｌβn(x)＝（４／ｎ）^n／２

また，１象限分の体積は

　　ｖｏｌΔn(x)＝（２／ｎ）^n／２

になる．

　３次元では切頂八面体の体積はそれに外接する立方体の半分であることはよく知られている．この性質は任意の次元についても成り立つのである．

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［証］点Ｑ（ｘ1，・・・ｘn）と基本単体のすべてのファセットまでの距離が等しいとき，

　　（ｘ1−ｘ2）／√２＝（ｘ2−ｘ3）／√２＝・・・＝（ｘn-1−ｘn）／√２＝ｘn

が成り立つ．

　空間充填２^n＋２ｎ胞体に関する定理

［定理１］超立方体［０，２］^nの基本単体の最長辺の中点を通る直交超平面

　　ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝ｎ／２

は基本単体を合同２分割する．なお，この超平面はｎが偶数のときＰn/2を通る．この定理は重要で，この２^n＋２ｎ胞体がｎ次元の体心立方格子に対応する空間充填図形であることを示している．

［定理２］超平面

　　ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝ｎ／２

は正軸体［０，ｎ／２］^nに対応する．その切頂面はｘi＝１である．したがって，正軸体［０，１］^nに対応する切頂面は．ｘi＝２／ｎとなる．

［定理３］正軸体［０，１］^nの頂点を一斉に２ｎ個

　　｜ｘi｜＝２／ｎ

で切り落として残る図形は空間充填図形となる．この超平面はｎが偶数のときＰn/2-1を通る．

の別証明をを与えておく．

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　ｎが奇数のとき

［１］（ｘ1−ｘ2）／√２＝・・・＝（ｘ(n-3)/2−ｘ(n-1)/2）／√２＝０より，

　　ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘ(n-1)/2＝α

［２］（ｘ(n+3)/2−ｘ(n+5)/2）／√２＝・・・＝ｘn＝０より，

　　ｘ(n+31/2＝・・・＝ｘn＝０

［３］（ｘ(n-1)/2−ｘ(n+1)/2）／√２＝（ｘ(n+1)/2−ｘ(n+3)/2）／√２より，

　　ｘ(n-1)/2＝α／２

［４］ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝１より，

　　（ｎ−１）／２・α＋α／２＝ｎ／２・α＝１　→　ｘ1＝２／ｎ

　ｎが偶数のとき

［１］（ｘ1−ｘ2）／√２＝・・・＝（ｘn/2-1−ｘn/2）／√２＝０より，

　　ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn/2＝α

［２］（ｘn/2+1−ｘn/2+2）／√２＝・・・＝ｘn＝０より，

　　ｘn/2+1＝・・・＝ｘn＝０

［３］ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝１より，

　　ｎ／２・α＝１　→　ｘ1＝２／ｎ

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［２］面数公式

　正軸体の切頂面となる（ｎ−１）次元面の頂点は，前節の計算より，ｘ＝２／ｎとして

［１］ｎ＝３のとき，

　　（ｘ，ｘ／２，０）

［２］ｎ＝４のとき，

　　（ｘ，ｘ，０，０）

［３］ｎ＝５のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）

［４］ｎ＝６のとき，

　　（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）

となる．

　ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるため，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要がある．

　また，この多面体はｆ1＝ｎ／２・ｆ0も成り立たないから単純多面体ではないし，置換多面体にみられるような再帰的構造も有していない．そのため，その形を構成するにはかなりの洞察力がいるが，頂点図形（star）を描くことによって，６次元までは構成可能であった．

２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（４，４）　　　（正方形）

３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３，１４）　　　（切頂八面体）

４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２４，９６，９６，２４）　　　（正２４胞体）

５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（２４０，７２０，７２０，２８０，４２）

６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１６０，１４４０，２８８０，２１６０，６３６，７６）

この計算は，のちにコンピュータによる数え上げによって再確認された．

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　ｎ次元の立方体（頂点数２^n）の頂点を超平面で切り落として残る空間充填図形（２^n＋２ｎ胞体）の面数公式ｆkは（ｆ0，ｆ1公式を除き）２（２^n−１）胞体や３^n−１胞体の面数公式のような一般式は得られていない．

［１］ｆ0公式

［ａ］ｎが奇数のとき

　ｆ0＝　ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！／２^(n-1)/2・２^n

　＝ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！・２^(n+1)/2

［ｂ］ｎが偶数のとき

　ｆ0＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！／２^n/2・２^n

　＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！・２^n/2

［２］ｆ1公式

［ａ］ｎが奇数のとき

　　ｅ＝ｎ！／｛（ｎ−１）／２｝！｛（ｎ−１）／２｝！（ｎ−１）／２＝ｆ0・（ｎ−１）／２^(n+3)/2

とおくと

　　ｆ1＝３ｅ２^(n-1)/2＝３ｆ0・（ｎ−１）／４

［ｂ］ｎが偶数のとき，

　　ｅ＝ｎ！／｛ｎ／２｝！｛ｎ／２｝！・（ｎ／２）^2／２＝ｆ0・（ｎ／２）^2／２^(n+2)/2

とおくと

　　ｆ1＝ｅ２^(n+2)/2＝ｆ0（ｎ／２）^2

　ｎ次元の立方体（頂点数２^n）の頂点を超平面で切り落として残る空間充填図形（２^n＋２ｎ胞体）の面数公式ｆkは，ｆ0，ｆ1公式を除き，一般式は得られていない．

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【４】２（２^n−１）胞体

　置換多面体は（ｎ＋１）！個の頂点と２（２^n−１）個のｎ−１次元胞をもつ．また，置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影で，単純ゾーン多面体である．２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．正単体αnを切頂・切稜することによって構成することができる．

［１］体積公式

　ｎ次元置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影であるから，ｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

をもつ．ｖiは辺に沿ったベクトルである．したがって，この体積は線分のミンコフスキー和

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

で与えられる．すなわち，（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味している．なお，このベクトル配置は１次従属になることもあり，その場合，ある項はゼロになるから（ｍ，ｎ）個以下の平行体に分解できることになる．

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

とおくと，

　　Ｐ0（−ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ1（＋ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ2（０，＋２ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ3（０，０，＋３ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）

　　Ｐ4（０，０，０，＋４ａ4，・・・，−ａn）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn（０，０，０，０，・・・，＋ｎａn）

　Ｐ0が原点になるように平行移動させると，

　　Ｐ0（０，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（２ａ1，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ2（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ3（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐn（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトルは

　　Ｐ0Ｐ1＝（２ａ1，０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ2＝（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ3＝（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ0Ｐ4＝（ａ1，ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ0Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ0Ｐn＝（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ1Ｐ2＝（−ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1Ｐ3＝（−ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ1Ｐ4＝（−ａ1，ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ1Ｐn-1（−ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ1Ｐn＝（−ａ1，ａ2，ａ3，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ2Ｐ3＝（０，−２ａ2，４ａ3，０，・・・，０）

　　Ｐ2Ｐ4＝（０，−２ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ2Ｐn-1（０，−２ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ2Ｐn＝（０，−２ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐ3Ｐ4＝（０，０，−３ａ3，５ａ4，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐ3Ｐn-1（０，０，−３ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）

　　Ｐ3Ｐn＝（０，０，−３ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）

　　Ｐn-1Ｐn＝（０，０，０，・・・，−（ｎ−１）ａn-1，（ｎ＋１）ａn）

であって，それぞれノルムで割って規格化する必要がある．

　　Ｖ2＝３√３／２

　　Ｖ3＝８√２

　　Ｖ4＝１２５√５／４

　　Ｖ5＝３２４√３

　　Ｖ6＝１６８０７√７／８

　　Ｖ7＝６５５３６

次元数ｎの一般式としての体積公式は得られていない．

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［２］面数公式

　単純多面体なので，

　　ｆ1＝ｎ／２・ｆ0

である．ｆ0は基本単体数に一致するので，

　　ｆ0＝（ｎ＋１）！

となる．

　頂点図形（star）を描くことによって，ｎ＝６までの面数公式は構成可能であるが，単純多面体であるから，２^n＋２ｎ胞体よりは楽に構成できる．しかし，それよりもこれらの多面体が再帰的な構造を有していることに気づけば，先人達も苦心した難題も難なく構成可能となる．

　正単体の面数公式

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

を利用すると

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとめることができる．

　この計算は２通りの方法，すなわち，コンピュータによる数え上げと頂点図形（star）を描くことによって一致することが確認されている．先人達も苦心した難題はこれにて完結，次は３^n−１胞体の体積公式・面数公式を求めてみたい．

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【５】３^n−１胞体

　正軸体βnあるいは同じことではあるが超立方体γnを切頂・切稜することによって構成することができる．頂点数２^n・ｎ！．置換多面体の正軸体版と考えることができるが，この多面体は空間充填多面体ではない．

［１］体積公式

　置換多面体との違いは，この多胞体にはｍ＝ｎ（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ^2組の平行なｎ次元ベクトルがあることで，考え方自体は２（２^n−１）胞体の場合と同じである．

　ｎ次元立方体の頂点は

　　（±１，±１，・・・，±１）

ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（±１，０，・・・，０）

　　（０，±１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，±０，・・・，１）

で与えられるから，ｎ^2組の平行な規格化ｎ次元ベクトルは

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

　　（±１，−１，０，・・・，０）／√２

　　（±１，０，−１，・・・，０）／√２

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（±１，０，０，・・・，−１）／√２

　　（０，±１，−１，０，・・・，０）／√２

　　（０，±１，０，−１，・・・，０）／√２

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（０，±１，０，０，・・・，−１）／√２

　　（０，０，・・・，±１，−１）／√２

　　Ｖ2＝２（１＋√２）

　　Ｖ3＝２２＋１４√２

　　Ｖ4＝２６２＋１８４√２

　　Ｖ5＝４１０６＋３１２８√２

　　Ｖ6＝９１２３６＋５７１７２√２

　　Ｖ7＝４（４７６７０９＋３９３５８１√２）

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［２］面数公式

　単純多面体なので，

　　ｆ1＝ｎ／２・ｆ0

である．ｆ0は基本単体数に一致するので

　　ｆ0＝２^n・ｎ！

となる．

　正軸体の面数公式

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

を利用すると，

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとめることができる．

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【６】まとめ

　次元数ｎの一般式として得られているとき○で表すことにすると

　　　　　　　　　　　　面数公式　　　　体積公式

２^n＋２ｎ胞体　　　　　　　△　　　　　　　○

２（２^n−１）胞体　　　　　○　　　　　　　△

３^n−１胞体　　　　　　　　○　　　　　　　△

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