石井源久先生がコンピュータを用いた総当たり的な手法で，高次元準正多面体の面数を計算したことで，このシリーズは新たな局面を迎えた．

　それに対応する手計算的な手法を整理しておかなければならないが，そのためには，コラム「平行体の体積とグラミアン」で求めた

　　（その１７）→大菱形立方八面体の高次元版

　　（その２０）→小菱形立方八面体の高次元版

　　（その２１）→切頂立方体の高次元版

を一般化すればよい．

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［１］鏡映対称変換

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ＞０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋３√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋６√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋６√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ω．

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［２］中心から各面までの距離

　切頂切稜面と中心座標

　　Ｐn（０，・・・，０）

の距離を求める．

　　Ｐ0（１，０，０，・・・，０）＝ＰnＰ0

　　Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）＝ＰnＰ1

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）＝ＰnＰ2

　　Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）＝ＰnＰn-1

とおくと，切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ，ｙ，ｚ，・・・）＝（（１＋（ｎ−１）√２）ω，（１＋（ｎ−２）√２）ω，・・・，ω）

を通る．

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，

　　ａ0＝Ｐ0

　　ｑ＝Ｑ

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝ｘ，ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ0‖＝ｘ

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ1＝Ｐ1

　　ｃ1＝（ｘ＋ｙ）／２，ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ1‖＝（ｘ＋ｙ）／√２

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａn-1＝Ｐn-1

　　ｃn-1＝（ｘ＋ｙ＋ｚ＋・・・）／ｎ，ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａn-1‖＝（ｘ＋ｙ＋ｚ＋・・・）／√ｎ

　これらは

［ａ］頂点面までの距離

　切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．

［ｂ］辺心面までの距離

　切稜されていなければ辺心は（１／２，１／２，０，・・・，０）であるが，切稜されているので，中心は

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０，・・・，０）．

［ｃ］胞心面までの距離

　胞心は（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）→１／√ｎ

と一致する．

　一般に，

　　‖ａk‖^2＝Σ（１／（ｋ＋１））^2＝１／（ｋ＋１）

　　ｈk＝Σ（１＋（ｎ−ｉ）√２）ω／√（ｋ＋１）＝√（ｋ＋１）ω（１＋（２ｎ−ｋ−２）／√２）

　　Ｈk＝ｈk／２ω＝√（ｋ＋１）（１＋（２ｎ−ｋ−２）／√２）／２

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