オイラーの恒等式（５角数定理）

　　Π（１−ｘ^n）＝Σ（−１）^k・ｘ^k(3k-1)/2

＝１−ｘ−ｘ^2＋ｘ^5＋ｘ^7−ｘ^12−ｘ^15＋ｘ^22＋ｘ^26−ｘ^35−ｘ^40＋ｘ^54＋ｘ^57−ｘ^70−ｘ^77＋ｘ^92＋ｘ^100−・・・

の級数の係数はすべて１か−１であり，１が２つ，−１が２つ，・・・と繰り返すことがわかる．

　オイラー関数の２乗

　　Π（１−ｘ^n）^2＝Σ（−１）^k・ｘ^k^2・Σ（−１）^k・ｘ^3k^2+k

＝１−２ｘ−ｘ^2＋２ｘ^3＋ｘ^4＋２ｘ^5−２ｘ^6−２ｘ^8−２ｘ^9＋ｘ^10＋・・・

には特別な性質があるようにはみえない．

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【１】ガウスの恒等式（３角数定理）

　ところが，オイラーの発見から７０年ほど経って，ガウスはオイラー関数の３乗

　　Π（１−ｘ^n）^3＝Σ（−１）^k（２ｋ＋１）・ｘ^k(k+1)/2

＝１−３ｘ＋５^3−７ｘ^6＋９ｘ^10−１１ｘ^15＋・・・

を与えることを証明した．

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【２】ヤコビの恒等式（３重積公式）

　２変数のヤコビの恒等式（３重積公式）は

　　Π（１＋ｙ^-1ｚ^2n-1）（１＋ｙｚ^2n-1）（１−ｚ^2n）＝Σｙ^kｚ^k^2

を使って，ガウスの恒等式（３角数定理）を導くことができる．

　同様に，ヤコビの恒等式を使って

　　Π（１−ｘ^n）^2／（１−ｘ^2n）＝Σ（−１）^k・ｘ^k^2＝１＋２Σ（−１）^k・ｘ^k^2

経由で

　　Π（１−ｘ^n）^2＝Σ（−１）^k・ｘ^k^2・Σ（−１）^k・ｘ^3k^2+k

＝１−２ｘ−ｘ^2＋２ｘ^3＋ｘ^4＋２ｘ^5−２ｘ^6−２ｘ^8−２ｘ^9＋ｘ^10＋・・・

も得られる．

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【３】クラインの恒等式とダイソンの恒等式（オイラーの恒等式のベキ）

　ここでは，

　　Π（１−ｘ^n）^d

を考える．

　たとえば，ｄ＝８では

　　Π（１−ｘ^n）^8＝Σ（１／３＋２（３ｋｌｍ−ｋｌ−ｋｍ−ｌｍ）／３・ｘ^-(kl*km+lm)　　　（クライン，フリッケ）

ｄ＝２４では

　　Π（１−ｘ^n）^24＝ΣΣΠ（ａi−ａj）／１！２！３！４！・ｘ^(n-1)

　　ａi＝ｉ　（ｍｏｄ５），ａ1＋・・・＋ａ5＝０，ａ1^2＋・・・＋ａ5^2＝１０ｎ^2

　ｄ＝３，８，１０，１４，１５，２１，２４，２６，２８，３５，３６，・・・に対してはエレガントな公式があることが知られている．ｄ（ヤコビ），ｄ＝８（クライン，フリッケ），ｄ＝１０（ヴィンクィスト），ｄ＝１４，２６（アトキン），ｄ＝２４（ダイソン），・・・

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【４】マクドナルドの恒等式（１９７２年）

　特別な指数ｄの謎は，１９７２年，イギリスのマクドナルドによって解決された（しかもすべての問題をきれいに片づけてしまった）．ヤコビの恒等式は２変数であったが，その一般化である（ｎ変数）．

　　Π（１−ｘ1^k・・・ｘn^k）^(n-1)Π（１−ｘ1^k・・・ｘn^k／ｘi・・・ｘj-1）（１−ｘ1^k・・・ｘn^k／ｘ1・・ｘi-1ｘj-1・・ｘn）

＝Σε（ｋ1，・・・．ｋn）ｘ1^k1・・・ｘn^kn

とくに，ｄ＝ｎ^2−１のとき（ガウスの恒等式，クラインの恒等式，ダイソンの恒等式の一般化），右辺は

　（−１）^(n-1)Σε（ｋ1，・・・．ｋn）ｘ1^k1・・・ｘn^kn

　　Π（１−ｘ^k・・・ｘn^k）^(n-1)Π（１−ｘ1^k・・・ｘn^k／ｘi・・・ｘj-1）（１−ｘ1^k・・・ｘn^k／ｘ1・・ｘi-1ｘj-1・・ｘn）

＝Σε（ｋ１，・・・．ｋn）（ｋ1，ｎ−１）（ｋ2，ｎ−２）（ｋn-1，１）ｘn^kn

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