πとｅは最も有名な超越数ですが，π＋ｅ，πｅのうち，少なくとも一方は超越数であることはわかっています．背理法を使って証明してみましょう．

［Ｑ］π＋ｅ，πｅのうち，少なくとも一方は超越数であることを証明せよ．

［Ａ］どちらも代数的数であるならば，

　　ｘ^2−（π＋ｅ）ｘ＋πｅ＝０

の根であることになり矛盾．

　数の超越性を証明するのは大変ですから，大学入試問題では，πやｅ，ｌｏｇ2１０やｔａｎ１°の無理数性を証明させるものが見かけられるということです．

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【１】3√２＝２^1/3は無理数である

　　3√２＝ｐ／ｑ　　　（ｐ，ｑは公約数をもたない）

と書けるとすると，

　　ｐ^3＝２ｑ^3　→　ｐは偶数でなければならない

ｐ＝２ｋと書けるとすると，

　　８ｋ^3＝２ｑ^3　→　４ｋ^3＝ｑ^3　→　ｑは偶数でなければならない

　ｐ，ｑは公約数２をももつことになり矛盾．よって，3√２は無理数である．

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【２】4√５＝５^1/4は無理数である

　√５が無理数であることは既知とする．

　　（4√５）^2＝√５

より，もし4√５が有理数ならば，√５は有理数となるので矛盾．

　無理数の有理数倍，無理数の逆数は無理数であるから

　　５^3/4＝５／５^1/4　→　無理数

　　５^5/4＝５・５^1/4　→　無理数

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【３】φ＝（１＋√５）／２＝２ｃｏｓ３６°は無理数である

　ｘは無理数，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数とする．このとき

　　ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ）

は無理数である．なぜなら．ｙが有理数ならば

　　ｘ＝（ｄｙ−ｂ）／（ａ−ｃｙ）

は有理数となり矛盾が生じる．これよりφは無理数である．

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【４】ｌｏｇ10２は無理数である

　有理数，したがって

　　ｌｏｇ10２＝ｐ／ｑ

と書けると仮定すると

　　ｑｌｏｇ10２＝ｐ→２^q＝１０^p＝２^p・５^p

同じ数について２通りの素因数分解ができることになり矛盾．

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