（その７５）において，準正多胞体の体積とその外接正多胞体の体積比をまとめた．

［１］２^n＋２ｎ胞体の体積＝１／２・（４／ｎ）^n

　　　外接正軸体の体積＝２^n／ｎ！

したがって，体積比はｎ！／２・（２／ｎ）^n

　また，外接立方体の体積＝（４／ｎ）^n

であるから，この場合の体積比は１／２である．

［２］ｎ＝７までの限られた検討であるが，２（２^n−１）胞体の体積はｃ（ｎ＋１）^1/2

　　　外接正単体の体積＝（ｎ＋１）^1/2／２^n/2ｎ！

したがって，体積比はｃ２^n/2ｎ！

［３］（３^n−１）胞体の体積はａ＋ｂ√２

　　　外接正軸体の体積＝２^n／ｎ！

したがって，体積比はｃ＋ｄ√２

　準正多胞体の体積とその外接正多胞体の体積比はどうなるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］２（２^n−１）胞体の場合

　切頂切稜面と中心座標

　　Ｐn（ａ1，・・・，ａn）

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

の距離を求める．切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）

を通るから，外接球の半径は

　　Ｒ^2＝ａ1^2（１−ｙ1）^2＋・・・＋ａn^2（１−ｙn）^2

また，１辺の長さは２（ａ1−ｘ1）＝２ａ1（１−ｙ1）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］２^n＋２ｎ胞体の場合

　ｘ＝２／ｎとおく．

　（ｘ，ｘ／２，０）

　（ｘ，ｘ，０，０）

　（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）

　（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）

［１］奇数次元

　　Ｒ^2＝（ｎ−１）／２・ｘ^2＋（ｘ／２）^2＝（２ｎ−１）／ｎ^2

［２］偶数次元

　　Ｒ^2＝ｎ／２・ｘ^2＝ｎ／２

　格子空間で（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換を考えると１辺の長さはｘ／２・√２，（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）では１辺の長さはｘ・√２になる．

　ついでにいうと，空間充填２^n＋２ｎ面体の体積は，ｘ＝２／ｎとして

　　１／２（２ｘ）^n＝１／２（４／ｎ）^n

で与えられる．これはファセット間距離が４／ｎの場合の体積である．１辺の長さを１に規格化した場合の体積は

［１］奇数次元

　　１／２（２ｘ）^n／（ｘ／√２）^2＝１／２・２^3n/2

［２］偶数次元

　　１／２（２ｘ）^n／（ｘ√２）^2＝１／２・２^n/2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］３^n−１胞体の場合

　切頂切稜面と中心座標

　　ｐn（０，０，・・・，０）

の距離を求める．

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋３√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋６√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋６√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ω＝ω

となることが理解される．

　外接球の半径は

　　Ｒ^2＝ｘ^2＋・・・＋ω^2

また，１辺の長さは２ω．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［４］まとめ

　準正多胞体の体積とその外接正多胞体の体積比はスターリング近似に用いることができるかもしれないが，２^n＋２ｎ胞体の場合を除いて，簡単な形にはならない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝