ユークリッドは「原論」の最後の１巻で，正多面体は５種類しか存在し得ないことを証明しています．

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【１】プラトン立体

　正多角形は無限に多く存在しますが，それでは，「互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？」

　この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．

　正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，

　　２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．

　２次元の平面の中に正多角形は無限に多くあるのに反して，３次元の空間には無限に多くの正多面体は存在しません．平面充填形は，面数が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますが，平面充填形の場合と同様にして，正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満（４直角では平角となり立体角が作れない）ですから，不等式

　　２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　（ｐ−２）（ｑ−２）＜４

が正多角形となる必要条件です．このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します（→【補】参照）．

　すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれています．

　正多面体は，ピタゴラス学派には神秘的完全性の象徴のように見え，ギリシャの自然哲学者はこれらを５元素と対応させています．

　正４面体，立方体，正８面体の３つが存在することは，鉱物の結晶から古くから知られていて，平凡な幾何学的事実といってもよいのですが，正１２面体と正２０面体は結晶形にはなり得ず，かなり遅れて発見されたようです．正１２面体は，当時シシリー島で多く産出された黄鉄鉱の結晶とよく似ていて（４つの辺だけが等しく残り一つは違っている），それから見つけだされたという説があります．また，ある種のウィルスやホウ素の単体が正２０面体の形をしていることがわかったのは近年になってからのことです．ワイルによると，５角１２面体と３角２０面体の発見は数学史全体の中でも美しく，もっとも特異な発見の一つとされています．

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【２】オイラーの多面体定理と星形正多面体

　多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅが成り立ちます．さらに，ｖ＋ｆ＝ｅ＋２（オイラーの多面体定理）が成り立ちますから辺の数ｅは

　　１／ｅ＝１／ｐ＋１／ｑ−１／２

　　ｖ＝４ｐ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｅ＝２ｐｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ），

　　ｆ＝４ｑ／（２ｐ＋２ｑ−ｐｑ）

となります．

　オイラーは晩年の１７年間はまったくの盲目でしたが，それにもかかわらず非常に多くの定理，公式を発見していて，量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー数と呼ばれます．また，多面体の示性数ｇは，ｇ＝１−（ｆ−ｅ＋ｖ）／２で定義されます．

　凹型正多面体まで含めると，正多面体は全部で９種類あり，プラトンの立体と呼ばれる凸型５種類の他の４種類は，星形正多面体（ケプラーがみつけた星形小十二面体，大十二面体と約２００年後にポアンソがつけ加えた星形大二十面体，大二十面体の４種類）です．星形正多面体は４種類しかないことはコーシーが示しています．

　オイラーの多面体定理より，凸多面体に対してはｇ＝０となります．ところが，４種類の星形正多面体のうち，２種類はｇ＝０ですが，残りの２種類はｇ＝４になります．ｇ＝４はトポロジカルにいえば穴が４つあるドーナツと同一ですから，ｇ＝０のみを星形正多面体と呼ぶべきだとの主張もあります．

　なお，同じ大きさの正４面体２個による相貫体＜ケプラーの８角星＞はダビデの星の３次元版ですが，星形正多面体には加えません．さらに，一様多面体（準正多面体の星形化）は７５種類，ザルガラー多面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在します．

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【３】レギオモンタヌスの問題

　１４７１年，ドイツの天文学者・数学者レギオモンタヌスは新たな問題を提起した．レギオモンタヌスの問題とは「空中に垂直に支えられた棒が，棒の延長線と地面との交点から水平に測って，どの地点で最大に見えるか」という問題である．近すぎる場合，棒はひどくつぶれて見えるだろうし，遠すぎる場合は単に小さく見えることになる．

　最大視角を張る地点を求める問題であるから，交点から測った棒の上端をａ，下端をｂ，水平方向の位置をｘとして，三角法を使って解いてみよう．

　　ｔａｎθ＝ｔａｎ（α−β）

　　　　　　＝（ｔａｎα−ｔａｎβ）／（１＋ｔａｎαｔａｎβ）

　　　　　　＝（ａ／ｘ−ｂ／ｘ）／（１＋ａ／ｘ・ｂ／ｘ）

　　　　　　＝（ａ−ｂ）ｘ／（ａｂ＋ｘ^2）

　これを最大にするｘは，微分によりｘ＝√（ａｂ）と計算され，求める点は棒の上部と下部の端点の高さの幾何平均の距離に位置することがわかる．

　この解は，幾何学的には方ベキの定理（ＯＡ・ＯＢ＝ＯＰ^2）によっているが，目の高さを考慮すると，この位置は棒の上端と下端を通る円が見ている人の眼の位置に水平に接するときの地点となる．円周角（同じ弧の上の角）を考えてみれば容易に理解できるであろう．

　レギオモンタヌスの問題は，ラグビーでトライが決まったときに，どこからゴールを狙えばよいかなど，いろいろな場面で応用できる問題となっている．

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【４】役に立たない三角関数公式集

　レギオモンタヌスの問題の証明では，正接の加法公式が用いられているが，正接のｎ倍角公式は，パスカルの三角形を用いて，次のように書くことができる．

　　ｔａｎｎα＝（nC1ｔａｎα−nC3ｔａｎ^3α＋nC5ｔａｎ^5α−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2α＋nC4ｔａｎ^4α−・・・）

　分母・分子の係数は，２項係数の符号が対で交代するパスカルの正接三角形

　　　　　　　　　　　　１

　　　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　１　　　２　　　−１

　　　　　　１　　　３　　　−３　　　−１

　　　　１　　　４　　　−６　　　−４　　　１

　　１　　　５　　−１０　　−１０　　　５　　　１

の形に並べることができる．ほとんどの教科書から消えてしまったが，美しい公式である．

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