日本は折り紙最先端国であり，折り紙は日本の伝統的お家芸であるが，日本人の名前を冠した折り紙定理がある．

［定理１］折り紙のひとつの角が辺の中点に来るように折る．このときできる３つの直角三角形はいずれもエジプト三角形（３辺の長さ比が３：４：５の直角三角形）である（芳賀和夫の定理）．

　これで思い出したのが，コラム「数楽と音学における３：４：５定理」で証明した「平行四辺形における３：４：５定理」である．両者の間には何らかの関連性があるに違いない．

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【１】平行四辺形における３：４：５定理

　平行四辺形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄをそれぞれ辺ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ，ＡＢの中点と結んで，中央に小さい平行四辺形を作る．この小さい平行四辺形の面積は，もとの平行四辺形の面積の１／５に等しい．次に，平行四辺形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄをそれぞれ辺ＣＤ，ＤＡ，ＡＢ，ＢＣの中点と結んでも中央に小さい平行四辺形が得られる．この小さい平行四辺形が重なった部分は点対称な８角形で，その面積はもとの平行四辺形の面積の１／６に等しい．

　このとき，重なっている小さい平行四辺形は互いの辺を３等分するのではなく，辺を分割する比は４：５：３になっている．

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　平行四辺形の頂点と２等分点を使ったダイヤグラムでは，平行四辺形の重なりにおいて，４：５：３の比があらわれた．では，３等分点を使ったダイヤグラムではどうだろうか？

　求めるのは，ＥＯ：ＯＮ：ＮＢであるが，４：５：３になっていることが証明される．平行四辺形の辺を３等分すると「３：４：５定理」が得られるのであるが，こんなところにも直角三角形に関係する３：４：５があるのかと驚かされた．

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　辺分割の仕方によってはたとえば「７：５：３定理」であったり「α：β：γ定理」であったり，折り紙の場合でいえば

［定理２］折り紙のひとつの角が辺の任意の点に来るように折って元に戻す．もうひとつの角を同じ点に合わせて折り元に戻す．このときできる交点は正方形の中心線上に来る．また，交点から任意の点までの距離と交点から対辺の２つの角までの３つの距離は常に等しくなる．

に相当する，自分なりの定理が見つかるのではないかと思う．

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