多項式ｆ（ｘ）＝０の異なる根の個数をＮ（ｆ）で表す．

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【１】メーソン・ストーサーズの定理（１９８３年）

　「互いに素な多項式ｆ，ｇ，ｈがｆ＋ｇ＋ｈ＝０を満たせば，

　　ｍａｘ（ｄｅｇｆ，ｄｅｇｇ，ｄｅｇｈ）≦Ｎ（ｆｇｈ）−１

が成り立つ．」

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【２】補題

　多項式ｆに対して，

　　ｆ~＝ＧＣＤ（ｆ，ｆ’）

とおく．このとき

　　Ｎ（ｆ）＝ｄｅｇｆ−ｄｅｇｆ’

が成り立つ．

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【３】証明

　ｆ，ｇ，ｈは互いに素であるから

　　Ｎ（ｆｇｈ）＝Ｎ（ｆ）＋Ｎ（ｇ）＋Ｎ（ｈ）−Ｎ（ｆ~ｇ~ｈ~）

　ｆ＋ｇ＋ｈ＝０を微分するとｆ’＋ｇ’＋ｈ’＝０であるから

　　Φ＝｜ａ　，ｂ　｜＝｜ｃ　，ａ　｜

　　　　｜ａ’，ｂ’｜　｜ｃ’，ａ’｜

　　ｄｅｇ（ｆ~ｇ~ｈ~）≦ｄｅｇΦ≦ｄｅｇｆ＋ｄｅｇｇ−１

　　ｄｅｇ（ｈ）≦Ｎ（ｆｇｈ）−１

同様に

　　ｄｅｇ（ｆ）≦Ｎ（ｆｇｈ）−１

　　ｄｅｇ（ｇ）≦Ｎ（ｆｇｈ）−１

これらをまとめると

　　ｍａｘ（ｄｅｇｆ，ｄｅｇｇ，ｄｅｇｈ）≦Ｎ（ｆｇｈ）−１

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【４】例題

　たとえば，ｆ＝（ｘ^n−１)^2，ｇ＝−（ｘ^n＋１)^2，ｈ＝４ｘ^nのとき，等号が成立する．

　　ｄｅｇｆ＝２ｎ，ｄｅｇｇ＝２ｎ，ｄｅｇｈ＝ｎ

　　ｍａｘ（ｄｅｇｆ，ｄｅｇｇ，ｄｅｇｈ）＝２ｎ

　　ｆｇｈ＝−４ｘ^n（ｘ^2n−１)^2

　　Ｎ（ｆｇｈ）＝２ｎ＋１，Ｎ（ｆｇｈ）−１＝２ｎ

　　［参］酒井文雄「平面代数曲線」共立出版

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