ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

　　ｇ’（ｘ）＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

はｘ＝ｅのとき最大値を与えるが，グラフを描いてみれば幅のある最大値をもつことがわかる．

　　ｌｏｇ２／２＜ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇ３／３＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

　　３^π＞π^3

　　３^2＞２^3

　実際，

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

となるが，２つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである．

　今回のコラムでは

［Ｑ］ｅ^eに最も近い整数を求めよ

［Ａ］ｅ^e＝１５．１５４２・・・

について考えてみたい．

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　ｙ＝ｘ^xを微分すると

　　ｙ’＝（ｌｏｇｘ＋１）ｘ^x

　１階微分ｙ’＝０となるのはｘ＝１／ｅのときだけで，２階微分ｙ”を求めればｘ＝１／ｅは最小値を与えることがわかる．（したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる．）

　２＜ｅ＜３より，

　　ｆ（１）＝１

　　ｆ（２）＝２^2＝４

　　ｆ（３）＝３^3＝２７

としても近似整数は求められそうもない．

　ｘ＝０の回りの３次近似

　　ｅｘｐ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ^2／２＋ｘ^3／６

において，ｘ＝２．７として１０．６２５５

　ｘ＝２の回りの３次近似

　　ｅｘｐ（ｘ）＝ｅｘｐ（２）｛１＋（ｘ−２）＋（ｘ−２）^2／２＋（ｘ−２）^3／６｝

において，ｘ＝２．７として１４．７９４１になることはわかったが，どのように評価するとエレガントにできるかはわからない．次回の宿題としたい．

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