■ＳＰＬＡＧ（その３）
コラム「無限次元空間の球充填問題」（２００３年）では，ｎ次元ユークリッド空間における球充填密度Δ（ｎ）のｎ→∞における漸近挙動が，
−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−．５９９
であること，そして
（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ → −１ （ｎ→∞）
が成り立つかどうかが問題になっていることを紹介しました．
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【１】（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの下界と上界
ミンコフスキーは，数の幾何学の理論を利用して，
Δ≧ζ(n)／２^(n-1)
を得た．ここで，ｎ→∞とするとき，リーマンのゼータ関数
ζ(n)＝Σ1/k^n→１
であるから，
ｌｏｇ2Δ≧−ｎ＋１
したがって
（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≧−１
となる．
一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられる．
Δ≦ｄn≦１
すべてのｎに対して，
（−ｎ≦）ｌｏｇ2Δ≦−ｎ／２＋ｌｏｇ2（ｎ／２＋１）
が成り立ち，ｎ→∞のとき，
ｄn 〜 （ｎ／ｅ）２^(-n/2)
であるから，これで，ｎ→∞のとき，
（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５
が得られる．
（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９
はそれを精緻化したものである．詳細は種本に譲ることにするが，格子状，非格子状の最密充填配置における
−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９
という結果は，次元がひとつ増すごとに充填密度Δ（ｎ）がおよそ１／２〜１／１．５１になるという計算が成り立つことを示している．
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【２】キッシング数限界
ｎ次元球のkissing numberについては，一部の次元では上限と下限の間に絞られているが，すべての次元に通用する球充填の問題はまだ解決していない．
kissing numberは最密充填構造と深い関連があるのだが，その下界はコクセターの方法によって求められる．一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられる．
単体的密度限界とは，稜の長さが２ｒのｎ次元正則単体の頂点に半径ｒの球を描いたときの充填密度ｄn，外接球Ｒを描いたときの単体における球の被覆密度Ｄnのことであって，平面の場合は
ｄ2＝π／√１２＝０．９０６８・・・
Ｄ2＝２π／√２７＝１．２０９・・・
空間の場合は，
ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・
Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・
となる．
１９５８年，ロジャースは，四面体配置から空間充填率の上限を７７．９７％とはじき出した．四面体配置は，３次元で相互に接するように球を配置するときの最大数となる配置であるが，全空間を充たすことはできないので，空間充填率の上限と考えられるわけである．
任意のｎ次元空間においても，単体は空間充填体でないという都合の悪い事情が現れるので，充填密度Δはｄnより決して大きくはなく，被覆密度ΘはＤnより小さくないので，これを使って，上側からの粗い評価をすると，
ｎ τn
1 2
2 6
3 12
4 24〜26
5 40〜48
6 72〜85
7 126〜146
8 240〜244
となり，現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っていることがわかる．コクセターが提起した４次元キッシング数限界は２４と２６の間，８次元キッシング数限界は２４０と２４４の間であった．
２４次元の球充填問題は，２００４年にコーンとクマールによって完全に解決された．４次元ではスローンとオドリツコが上限を２５にまで減らし，さらにハーディンがそれを２４に下げた．８次元ではスローンとオドリツコが上限を２４０にまで下げた．
ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，４次元以上の高次元では，４次元（２４個），８次元（２４０個），２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決である．
ｎ τn ｎ τn
1 2 13 1130〜2233
2 6 14 1582〜3492
3 12 15 2564〜5431
4 24 16 4320〜8313
5 40〜46 17 5346〜12215
6 72〜82 18 7398〜17877
7 126〜140 19 10668〜25901
8 240 20 17400〜37974
9 306〜380 21 27720〜56852
10 500〜595 22 49896〜86537
11 582〜915 23 93150〜128096
12 840〜1416 24 196560
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