■ＳＰＬＡＧ（その１）
２００２年，ウルフラムは「A New Kind of Science」（ＮＫＳ）というタイトルの1200ページにもおよぶ書籍を出版，セルオートマトンに世界中の注目を集めた記念碑となった．
コンウェイは球充填の理論的な側面を研究した．
［参］Conway,Sloane "Sphere packings, Lattices and Groups", Springer-Verlag＝「球充填・格子・群」はこのテーマに関する標準の参考書で，ＳＰＬＡＧと略称される．
とくに２４次元のおける特定の格子の対称性の研究は，コンウェイに数学者としての名声を築くとともに，この著書は毎年結構な額の印税を彼にもたらした．
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【１】最密球充填
（２次元格子） 配位数 充填率
正方格子 ４ π／４＝．７８５４
三角格子 ６ √３π／６＝．９０６９（最密充填）
六角格子 ３ √３π／９＝．６０４６
カゴメ格子 ４ √３π／８＝．６８０２
ペンローズ格子 ４ 平均０．３８９９（非周期的格子）
（３次元格子） 配位数 充填率
単純立方格子 ６ π／６＝．５２３６
対心立方格子(bcc) ８ √３π／８＝．６８０２
面心立方格子(fcc) １２ √２π／６＝．７４０５（最密充填）
ダイヤモンド格子 ４ √３π／１６＝．３４０１
そして，現在のところ，格子状配置の中で最密球充填となることが証明されている極大格子は，以下のｎ≦８についてのみである．
ｎ ルート 格子点間距離 球充填密度
１ Ａ1（Ｚ） １ １
２ Ａ2 4√（４／３） ＝１．０７５ ０．９０６
３ Ａ3 6√２ ＝１．１２２ ０．７４０
４ Ｄ4 8√４ ＝１．１８９ ０．６１９
５ Ｄ5 10√８ ＝１．２３１ ０．４６５
６ Ｅ6 12√（６４／３）＝１．２９０ ０．３７３
７ Ｅ7 14√６４ ＝１．３４６ ０．２９５
８ Ｅ8 √２ ＝１．４１４ ０．２５４
このうち，ｎ＝１，２，３については，非格子状配置（面心立方格子と充填密度は等しいが規則的でないもの，ダイヤモンド格子のように周期的ではあるが等方的でないもの，ペンローズ格子のように周期的でないものなど）やランダム配置を含めても最密であることが証明されている．
また，格子Λの双対格子をΛ~，そして層状格子をΛnで表すことにすると，
Λ1＝Ｚ＝Ａ1＝Ａ1~，Λ2＝Ａ2＝Ａ2~
Λ3＝Ａ3＝Ｄ3，Λ4＝Ｄ4＝Ｄ4~
Λ5＝Ｄ5，Λ6＝Ｅ6
Λ7＝Ｅ7，Λ8＝Ｅ8＝Ｅ8~
となる．
（証明はされていないものの）９次元以上では，１０〜１３次元を除き，２９次元以下の最密球充填配置は層状格子Λnであることが知られている．また，３０〜３２次元ではＱn（Quebemann格子）がΛnを上回る．
例外となるｎ＝１０，１１，１３では非格子状配置であり，ｎ＝１２は格子状配置Ｋ12（Coxeter-Todd格子），また，ｎ＝１６，２４の格子状配置は
Λ16＝ＢＷ16（Barnes-Wall格子），Λ24＝（Leech格子）
と呼ばれる層状格子である．Ｋ12，Λ16，Λ24，Ｑ32は最密球充填格子というわけである．
Ｋ12 → Δ＝π^6/19440=0.04945･･･
Λ16 → Δ＝π^8/16/8!=0.01471･･･
Λ24 → Δ＝π^12/12!＝π^12/479001600=0.001930･･･
と計算されているが，充填密度を
δ＝Δ／ｖn
として規格化すると，
Ａ1 → δ＝1
Ａ2 → δ＝0.28868
Ａ3 → δ＝0.17678
Ｄ4 → δ＝0.125
Ｄ5 → δ＝0.08839
Ｅ6 → δ＝0.07217
Ｅ7 → δ＝0.0625
Ｅ8 → δ＝0.0625
Ｋ12 → δ＝0.03704(δ＝1/27)
Λ16 → δ＝0.0625(δ＝1/16)
Λ24 → δ＝1
であるから，リーチ格子がいかに効率的配置であるかが理解されるだろう．
１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成したのであるが，この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触している．そして，τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られている．
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