（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

という問題では

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７

はすぐに求められます．このことからｎ本目の線（弦）を引くと新しい領域がｎ個増えることがわかります．これを式で表すと

　　Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ

　　Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ

　　Ｓn-1＝Ｓn-2＋ｎ−１

　　・・・・・・・・・・

　　Ｓ1＝Ｓ0＋１

　　Ｓ0＝１

を辺々加えると，一般式

　　Ｓn＝１＋（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）＝１＋ｎ（ｎ＋１）／２

　　　 ＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

が得られます．すなわち，一般公式ではｎ回切った場合，

　　ｎ（ｎ＋１）／２＋１＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

個の断片ができます．

　もうひとつのバージョンでは

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　　Ｓn＝（ｎ＋１，２）＋１＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　オイラーの公式を使って，ピザ切り分け問題を解くために，頂点と辺を数えると，２ｎ個の境界頂点とnＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２個の内部頂点があるから

　　ｅ＝２ｎ＋ｎ（ｎ−１）／２

　また，ピザの境界上にｎ本の曲線状の辺とｎ本のカットはそれぞれｎ本の直線の辺を含んでいるから

　　ｖ＝２ｎ＋ｎ^2

　よって，

　　ｆ＝ｅ−ｖ＋１＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．円と共通点をもつピースの個数Ｐnはいくつになるか？

　　Ｐ1＝２，Ｐ2＝４，Ｐ3＝６，Ｐ4＝８，Ｐ5＝１０

はすぐに求められます．このことからｎ本目の線（弦）を引くと新しい領域が２個増えることがわかります．これを式で表すと

　　Ｐn＝Ｐn-1＋２

　　Ｐn＝２ｎ

　逆に，円と共通点をもたないピースの個数Ｑnは

　　Ｑn＝Ｓn−Ｐn＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２−２ｎ

あるいは，もうひとつのバージョンでは

　　Ｑn＝（ｎ，０）−（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２−２ｎ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝