■正四面体の体積
［Ｑ］１辺の長さが√２の正四面体の体積を求めよ．
［Ａ］１辺の長さが１の立方体の頂点をひとつおきにとると，１辺の長さが√２の正四面体を作ることができます．真ん中の正四面体を囲む４つの合同な直角三角錐，すなわち，
立方体＝正四面体＋直角三角錐×４
に分解できること，直角三角錐の体積は１／６であることより，正四面体の体積は
１−４／６＝１／３
ところが，４点（０，０，１），（０，１，０），（１，０，０），（１，１，１）を頂点とする正四面体に対して，ピックの公式を適用すると，真ん中の正四面体とそれを取り囲む４つの合同な直角三角錐，計５つの多面体はどれも境界上に４つの格子点をもつからすべて同じ体積をもつということになる．
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【１】ピックの公式
ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものである．
Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１
Ａ：格子多角形の面積
Ｉ：内部の点の個数
Ｂ：境界上の点の個数
すなわち，格子点平面の折れ線で囲まれた面積は（凸であれ凹であれ）格子点の数で表せるという「格子の幾何学」の美しい公式である．ピックは，ミンコフスキーの格子点定理「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」を用いて，彼の興味深い定理を証明した．
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【２】格子多面体の体積
ところで，ピックの定理を一般化して，３次元格子上に頂点をもつ多面体の体積公式を作ることができるだろうか？ 実は，３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないことが証明されている（リーブ，１９５７）．
平面上の格子三角形で，その内部および境界に頂点以外の格子点を含まないとき，その格子三角形（基本三角形）の面積は１／２である．これは平面上の項三角形の顕著な特質であり，これを用いてピックの定理を証明することができる．しかし，空間の四面体ではまったく状況が異なる．
体積＝内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１
が任意の格子多面体に対して成り立つならば話は簡単なのだが，そうは問屋が卸さないのである．３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないという例（リーブの四面体）をあげよう．
［１］体積＝内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１
が成立しない反例をあげると，４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（１，１，ｚ）を頂点とする三角錐（体積ｚ／６）では，
内部の格子点数＝０
面上の格子点数＝４
辺上の格子点数＝４
より
内部の格子点数＋面上の格子点数／２−辺上の格子点数／４−１＝０
この四面体では，
内部の格子点数＝０
面上の格子点数＝４
辺上の格子点数＝４
を変化させることなしに，ｚとともに体積をいくらでも大きくすることができる．
リーブの四面体はリーブがＲ^3において，ピックの定理が成り立たないことを示すために用いたものであるが，リーブの四面体の離散体積は
Ｌ（ｔ）＝（ｚ／６）ｔ^3＋ｔ^2＋（２−ｚ／６）ｔ＋１
で与えられる．
［２］４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１）を頂点とする基本三角錐の体積は１／６，４点（０，０，０），（１，１，０），（１，０，１），（０，１，１）を頂点とする基本三角錐の体積は１／３，４点（０，０，０），（１，１，０），（１，０，１），（０，１，ｎ）を頂点とする基本三角錐の体積は（ｎ＋１）／６．体積がいくらでも大きいような基本四面体が存在するのである．
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【３】リーブの公式
凸格子点多面体に限ると，すべての凸格子点多面体に対して成り立つ公式は存在するのだが，それでも非常に複雑なものになるという．→コラム「ピックの公式の拡張」参照
Ｒ^3の点で，座標が（整数／ｎ，整数／ｎ，整数／ｎ）となるような点の全体をＬnで表すと，任意の整数ｎについて，
２ｎ（ｎ^2−１）Ｖ＝２（Ｉn−ｎＩ）＋（Ｂn−ｎＢ）
Ｖ：格子多面体の体積
Ｉ：内部の点の個数 Ｉn：内部のＬn点の個数
Ｂ：境界上の点の個数 Ｂn：境界上のＬn点の個数
［１］立方体［０，１］^3
Ｉ＝０，Ｂ＝８，Ｉ2＝１，Ｂ2＝ｖ＋ｅ＋ｆ＝２６→２・２（２^2−１）Ｖ＝２（１−２・０）＋（２６−２・８）＝１２→Ｖ＝１
［２］４点（０，０，０），（１，１，０），（１，０，１），（０，１，２）を頂点とする四面体
Ｉ＝０，Ｂ＝４，Ｉ2＝２，Ｂ2＝１０→２・２（２^2−１）Ｖ＝２（２−２・０）＋（１０−２・４）＝６→Ｖ＝１／２
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【４】正四面体の体積
４点（０，０，１），（０，１，０），（１，０，０），（１，１，１）を頂点とする正四面体に対して，リーブの公式を適用すると，
Ｉ＝０，Ｂ＝４，Ｉ2＝１，Ｂ2＝１０→２・２（２^2−１）Ｖ＝２（１−２・０）＋（１０−２・４）＝４→Ｖ＝１／３
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