１辺の長さａの２^n＋２ｎ胞体の体積をＶとすると，構成元素数は２^nｎ！ですから，元素の体積はＶ／２^nｎ！．１辺の長さｂの２（２^n−１）胞体の体積をΛとすると，構成元素数は２（ｎ＋１）！ですから，元素の体積はΛ／２（ｎ＋１）！となります．

　この２つの元素が共通の素粒子ε（ｃ個とｄ個）から構成されると仮定すると，元素の体積は

　　Ｖ／２^nｃｎ！＝Λ／２ｄ（ｎ＋１）！

です．したがって，

　　Ｖ／Λ＝２^n-1ｃ／ｄ（ｎ＋１）

　εの存在・非存在に関わらず，Ｖ／Λは有理的に表される必要があります．そこで，１辺の長さ１のときの体積をＶ1，Λ1で表すことにすると

　　Ｖ＝Ｖ1ａ^n，Λ＝Λ1ｂ^n，

　　Ｖ／Λ＝Ｖ1／Λ1（ａ／ｂ）^n

　ｎ＝７まで調べましたが，３次元空間を除いて，Ｖ1／Λ1は有理的ではないことから，ａ／ｂが有理的に表される必要があります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】外接球の半径

　３次元空間を除いて，これら２つの空間充填多面体の元素数は２であることが予想されるのですが，外接球の半径が何かヒントを与えてくれるかもしれません．

［１］２（２^n−１）胞体の場合

　切頂切稜面と中心座標

　　Ｐn（ａ1，・・・，ａn）

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

の距離を求める．切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）

を通るから，

　　Ｒ^2＝ａ1^2（１−ｙ1）^2＋・・・＋ａn^2（１−ｙn）^2

また，１辺の長さは２（ａ1−ｘ1）＝２ａ1（１−ｙ1）

［２］２^n＋２ｎ胞体の場合

　ｘ＝２／ｎとおく．

　（ｘ，ｘ／２，０）

　（ｘ，ｘ，０，０）

　（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）

　（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）

［１］奇数次元

　　Ｒ^2＝（ｎ−１）／２・ｘ^2＋（ｘ／２）^2＝（２ｎ−１）／ｎ^2

［２］偶数次元

　　Ｒ^2＝ｎ／２・ｘ^2＝ｎ／２

　格子空間で（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換を考えると１辺の長さはｘ／２・√２，（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）では１辺の長さはｘ・√２になる．

　ついでにいうと，空間充填２^n＋２ｎ面体の体積は，ｘ＝２／ｎとして

　　１／２（２ｘ）^n＝１／２（４／ｎ）^n

で与えられる．これはファセット間距離が４／ｎの場合の体積である．１辺の長さを１に規格化した場合の体積は

［１］奇数次元

　　１／２（２ｘ）^n／（ｘ／√２）^2＝１／２・２^3n/2

［２］偶数次元

　　１／２（２ｘ）^n／（ｘ√２）^2＝１／２・２^n/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】辺心までの距離

［１］２（２^n−１）胞体の場合

　　Ｌ^2＝ａ2^2（１−ｙ2）^2＋・・・＋ａn^2（１−ｙn）^2

　　ｎ＝３，Ｒ^2＝１／１６，ａ1（１−ｙ1）＝１／１２，Ｌ^2＝５／７２

　　ｎ＝４，Ｒ^2＝１９／４００，ａ1（１−ｙ1）＝１／２０，Ｌ^2＝１／２０

　　ｎ＝５，Ｒ^2＝１７／４５０，ａ1（１−ｙ1）＝１／３０，Ｌ^2＝７／１８０

　　ｎ＝６，Ｒ^2＝５５／１７６４，ａ1（１−ｙ1）＝１／４２，Ｌ^2＝２／６３

［２］２^n＋２ｎ胞体の場合

　ｘ＝２／ｎとおく．格子空間で（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換を考えると１辺の長さはｘ／２・√２，（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）では１辺の長さはｘ・√２になる．

［１］奇数次元

　　Ｒ^2＝（ｎ−１）／２・ｘ^2＋（ｘ／２）^2＝（２ｎ−１）／ｎ^2

　　Ｌ^2＝Ｒ^2−（ｘ／４・√２）^2＝（ｎ−１）／２・ｘ^2＋（ｘ／２）^2＝（２ｎ−１）／ｎ^2−１／２ｎ^2＝（４ｎ−３）／２ｎ^2

［２］偶数次元

　　Ｒ^2＝ｎ／２・ｘ^2＝ｎ／２

　　Ｌ^2＝Ｒ^2−（ｘ／２・√２）^2＝ｎ／２−２／ｎ^2＝（ｎ^3−４）／２ｎ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝