超立方体／正軸体の自己同型変換群の位数２^nｎ！は一般に正単体の位数（ｎ＋１）！の倍数ではありませんが，そのことだけで含まれないと結論するのは早計です．実際これに近い誤りを犯した文献もある由です．

　５次元以上で，超立方体（頂点数２^n），正軸体（頂点数２ｎ），正単体（頂点数ｎ＋１）の３種類のｎ次元正多胞体の包含関係を調べてみましょう．

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【１】対角線の長さ

［１］正ｎ＋１胞体

　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．頂点数はｎ＋１個あり，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがる．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　ｎ＋１個の頂点：

　　Ｖ1（１，０，・・・，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｖn（０，０，・・・，１）

　　Ｖn+1（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

の中心座標（体心）は

　　（（ｘ＋１）／（ｎ＋１），・・・，（ｘ＋１）／（ｎ＋１））

である．

　　ｘ−（ｘ＋１）／（ｎ＋１）＝−１／√（１＋ｎ）

より，外接球の半径は（ｎ／（１＋ｎ））^1/2

　外接球の半径を√ｎに調整すると，

　　Ｌ1＝√（２（１＋ｎ）），Ｎ1＝ｎ

［２］正２ｎ胞体

　（±１，±１，±１，±１，・・・）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径√ｎの正２ｎ胞体を考える．頂点数は２^n個あり，各頂点からはｎ本の稜がでる．

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝ｎ（ｎ−１）／２

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｌn＝２√ｎ，Ｎn＝１

［３］正２^n胞体

　　（±１，０，・・・，０）

　　（０，±１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，±１）

を頂点とする１辺の長さ√２，外接球の半径１の正２^n胞体を考える．頂点数は２ｎ個あり，各頂点からは２（ｎ−１）本の稜がでる．

　外接球の半径を√ｎに調整すると，

　　Ｌ1＝√（２ｎ），Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２√ｎ，Ｎ2＝１

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【２】証明

　外接級の半径を√ｎとした場合，正２ｎ胞体の対角線の長さは√４ｋで与えられる（ｋ＝１〜ｎ）．正２^n胞体の対角線の長さがこのいずれかに等しくなるのは２ｎ＝４ｋのとき，すなわち，偶数次元のときである．

　一方，正ｎ＋１胞体の対角線の長さが正２ｎ胞体の対角線のいずれかに等しくなるのは２（ｎ＋１）＝４ｋのとき，すなわち，奇数次元のときである．

　故に，正２ｎ胞体は万有多胞体ではなく，万有多胞体は存在しない．これもほぼone sentence proofといってよいであろう．実はこの証明はアダマール問題の部分解となっている．

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【３】アダマールの未解決問題

　＋１，−１を成分とする直交行列（アダマール行列とよばれる）には「ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んで正軸体を作ることはできるか」という幾何学的な意味合いを与えることができる．

　一方，「ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んでｎ正単体を作ることはできるか」という問題では，全体を１次元あげて，ｎ＋１正軸体のｎ次元胞をとるのが最も簡単である．したがって，「ｎ＋１次元超立方体の頂点をうまく結んで正軸体を作ることはできるか」と同等の問題である．

［１］正軸体の場合

　ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んで正軸体を作ることはできる場合があります．正軸体は中心を通るｎ本の互いに直交する直線上に等間隔に点をとった合計２ｎ点で作られます．したがって，座標（±１，±１，・・・，±１）（ｎ次元ベクトル）の中からうまくｎ個の互いに直交する組が選べれば正軸体ができます．

　これは＋１，−１を成分とする直交行列（アダマール行列とよばれる）を作るのと同一で，ｎが４の倍数であることが必要条件になります．逆にｎが４の倍数のとき，アダマール行列ができるか？は有名な未解決問題です（たぶんそうだろうと考えられ，かなり多くのｎについて正しいことがわかっています）．だから，ｎが４の倍数である場合にはうまく頂点を選んで正軸体ができる場合があります（ｎ＝４はもちろんだが，ｎ＝８など）．

［２］正単体の場合

　正単体の場合は一層厄介ですが，たぶん不可能と思います．１辺の長さ１のｎ次元超立方体の頂点間の距離は１，√２，√３，・・・，√ｎのいずれかであり，１辺の長さａのｎ次元正単体の体積は（ｎ＋１）^1/2ａ^n／２^n/2ｎ！ですから，格子点を結んでできる単体が正単体になりうる必要条件は（ｎ＋１）^1/2が√２，√３，・・・，√ｎで有理的に表される必要があります．

　これは特定のｎについては可能（例えばｎ＝３なら（ｎ＋１）^1/2＝２で実際可能）ですが，ｎ＝２のとき正方格子の頂点を結んで正三角形ができない（√３が無理数のため）の証明と相通じます．ｎ＝４では（ｎ＋１）^1/2＝√５が邪魔して，同様に不可能と思います．もちろんこれは可能なための必要条件のひとつにすぎず，可能な場合があるかもしれません（例えばｎ＝８について）．

　正方格子点でなくひとつの超立方体の頂点をうまくとって正単体を作ることは，たぶんｎ＝３以外には不可能と思われます．ただその証明は単に奇数次元，偶数次元というだけでなく，もう少し細かい吟味（ｎ＝８といった特別のｎの値について）が欠かせないように感じられます．といったわけで，この設問はもはや一般論では済まず，次元数ｎの整数論的な性質を考慮に入れて個々に調べなければならない難問です．

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【補】アダマール行列

　アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから，　　ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn

が成り立つ．

　　ｄｅｔ｜ｎＩn｜＝ｎ^n

より

　　ｄｅｔ｜Ｈn｜＝ｎ^n/2

　もっと一般に，各成分が１か−１のｎ×ｎ行列の行列式はｎ^n/2以下である．アダマールの定理の証明は，行列式の幾何学的意味を理解すれば簡単である．行列式の絶対値は，ｎ個のそれぞれの長さ√ｎの行ベクトルが作るｎ次元平行六面体の体積だから，その値は（√ｎ）^n＝ｎ^n/2以下である．等号はベクトル同士が全部直交するときに限る．

　最も簡単なアダマール行列は

　　Ｈ2 ＝［１，　１］

　　　　　［１，−１］

である．すべての他のアダマール行列はｎ＝４ｋであることが必要である．

　とくに興味深いのは「直積」

　　Ｈ4＝Ｈ2×Ｈ2，Ｈ8＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2，・・・

によって，Ｈ2から得られるｎ＝２^mのシルベスタ型のアダマール行列で，

　　　　　［１，　１，　１，　１］

　　Ｈ4 ＝［１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１］

　　　　　［］，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，　１，　１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，　１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，　１，　１，−１，−１］

　　Ｈ8 ＝［１，−１，−１，　１，　１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，−１，−１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，−１，　１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，−１，−１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，−１，　１，−１，　１，　１，−１］

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　なお，Ａ（ｍ×ｎ行列）とＢ（ｍ’×ｎ’行列）の直積（クロネッカー積）は，２つの行列の各要素を直接乗じて作る（ｍｍ’×ｎｎ’）行列である．直積では第１項の各要素をその項と第２項との積で置き換えることによって定義される．

　両者の成分のすべての積を作り，各要素を（ｃi'j'）＝（ａijｂkl）において，

　　ｉ’＝ｉ＋ｍ（ｋ−１）

　　ｊ’＝ｊ＋ｎ（ｌ−１）

の式にしたがって並べると，

　　１≦ｉ≦ｍ，１≦ｊ≦ｎ，１≦ｋ≦ｍ’，１≦ｌ≦ｎ’

より，

　　１≦ｉ’≦ｍｍ’，１≦ｊ’≦ｎｎ’

　また，正方行列Ｘ（ｎ×ｎ行列）とＹ（ｍ×ｍ行列）の直積の固有値は，Ｘのｎ個の固有値とＹのｍ個の固有値の積である．テンソルの数学的定義はそれが何であるかよりも座標変換に対していかに振る舞うかによって規定するから，理解しにくいかもしれない．

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