■４次元正多胞体の包含関係（その２）
まず最初に（その１）での議論は
Coxter, Regular Polytope （改訂版, Dover, 1973），p157
のみならず同書p240，また，これから行う議論もp268,287にあるものと結果的には同じものであるが，より理解しやすいものになっていることを申し添えておきたい．
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【１】結論を先にいうと
６種類ある４次元正多胞体の包含関係を考えよう．興味深いことに，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．
他方，５次元以上で４次元の正１２０胞体のような「万能正多胞体」が存在しないことも既知の結果である．
一般に，正α胞体の頂点をうまく結んで正β胞体が含まれる場合，両者の包含関係は頂点数の整除性によって決定されると考えるのは早とちりである．たとえば，正１２面体（頂点数２０）の中に立方体（頂点数８）を内接させることはできるが，２０は８で割り切れない．
４次元の正１２０胞体（頂点数６００）＞正８胞体（頂点数１６）もそうなっている．正８胞体の頂点数１６が正１２０胞体の頂点数６００の約数でないから，正１２０胞体は正８胞体を含まないとまじめに書いた本もあったが，少々早合点？ 頂点数が約数になっていなくても別に矛盾ではない．逆に頂点数が約数になっていても包含関係が成立しない場合もある．
結論を先にいうと，６種類の４次元正多胞体の包含関係（巡礼）をまとめると，
正１６胞体≦正８胞体≦正２４胞体≦正６００胞体≦正１２０胞体
正５胞体≦正１２０胞体
となる．１２０÷５＝２４なので，一見正６００胞体の１２０個の頂点からうまく選べば正５胞体が２４個含まれても良いように見えるが，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れない．４次元正多胞体の中で正５胞体は何か異端児である．
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【２】頂点による包含関係（inclusion property）
６種類の４次元正多胞体の包含関係を調べるために，頂点数の整除性をみるのではなく，対角線の長さを求めてみることにしよう．
［１］正５胞体
（１，０，０，０），（０，１，０，０），（０，０，１，０），（０，０，０，１），（（１−τ）／２，（１−τ）／２，（１−τ）／２，（１−τ）／２）を頂点とする１辺の長さ√２の正５胞体を考える．重心は（（３−τ）／１０，（３−τ）／１０，（３−τ）／１０，（３−τ）／１０）であるから，外接球の半径は２／√５．
外接球の半径を４に調整すると，ある頂点における対角線の長さＬjの本数は
Ｌ1＝２√１０，Ｎ1＝４
［２］正８胞体
（±１，±１，±１，±１）を頂点とする正８胞体の１辺の長さ２，外接球の半径２．外接球の半径を４に調整すると，
Ｌ1＝４，Ｎ1＝４
Ｌ2＝４√２，Ｎ2＝６
Ｌ3＝４√３，Ｎ3＝４
Ｌ4＝８，Ｎ4＝１
［３］正１６胞体
（±１，０，０，０），（０，±１，０，０），（０，０，±１，０），（０，０，０，±１）を頂点とする正１６胞体１辺の長さ√２，外接球の半径１．外接球の半径を４に調整すると，
Ｌ1＝４√２，Ｎ1＝６
Ｌ2＝８，Ｎ2＝１
［４］正２４胞体
正８細胞体の頂点（±１，±１，±１，±１）と正１６胞体の頂点（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）を頂点とする正２４胞体の１辺の長さ２，外接球の半径２．外接球の半径を４に調整すると，
Ｌ1＝４，Ｎ1＝８
Ｌ2＝４√２，Ｎ2＝６
Ｌ3＝４√３，Ｎ3＝８
Ｌ4＝８，Ｎ2＝１
［５］正６００胞体
τ＝（１＋√５）／２とおく．正２４胞体の頂点（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）２４点と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換で表される９６点，合計１２０点を結んでできる正６００胞体の１辺の長さ√（６−２√５）＝√５−１＝２／τ，外接球の半径２．外接球の半径を４に調整すると，
Ｌ1＝２√（６−２√５），Ｎ1＝１２
Ｌ2＝４，Ｎ2＝２０
Ｌ3＝２（１０−２√５），Ｎ3＝１２
Ｌ4＝４√２，Ｎ4＝３０
Ｌ5＝２√（６＋２√５），Ｎ5＝１２
Ｌ6＝４√３，Ｎ6＝２０
Ｌ7＝２√（１０＋２√５），Ｎ7＝１２
Ｌ8＝８，Ｎ8＝１
［６］正１２０胞体
４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は，σ＝（３√５＋１）／２，σ’＝（３√５−１）／２とおくと，正６００胞体の頂点を含む（±２，±２，±２，±２），（±４，０，０，０），（０，±４，０，０），（０，０，±４，０），（０，０，０，±４），（±２τ，±２，±２／τ，０）２１６点と（√５，√５，√５，１），（τ^2，τ^2，√５／τ，１／τ），（σ、１／τ，１／τ，１／τ），（τ√５，τ，１／τ^2，１／τ^2）に偶数個の負号をつけた点の置換２５６点，（σ’，τ，τ，τ），（３，√５，１，１）に奇数個の負号をつけた点の置換１２８点で与えられる．１辺の長さ√２（３−√５）＝２√２／τ^2，外接球の半径４．
Ｌ1＝√（２８−１２√５），Ｎ1＝４
Ｌ2＝√（１２−４√５），Ｎ2＝１２
Ｌ3＝√（２４−８√５），Ｎ3＝２４
Ｌ4＝２√２，Ｎ4＝１２
Ｌ5＝√（３６−１２√５），Ｎ5＝４
Ｌ6＝√（２０−４√５），Ｎ6＝２４
Ｌ7＝√（３２−８√５），Ｎ7＝２４
Ｌ8＝４，Ｎ8＝３２
Ｌ9＝√（２８−４√５），Ｎ9＝２４
Ｌ10＝√（１２＋４√５），Ｎ10＝１２
Ｌ11＝√（４０−８√５），Ｎ11＝２４
Ｌ12＝２√６，Ｎ12＝２８
Ｌ13＝√（３６−４√５），Ｎ13＝２４
Ｌ14＝√（２０＋４√５），Ｎ14＝２４
Ｌ15＝４√２，Ｎ15＝５４
Ｌ16＝√（４４−４√５），Ｎ16＝２４
Ｌ17＝√（２８＋８√５），Ｎ17＝２４
Ｌ18＝２√１０，Ｎ18＝２８
Ｌ19＝√（２４＋８√５），Ｎ19＝２４
Ｌ20＝√（５２−４√５），Ｎ20＝１２
Ｌ21＝√（３６＋４√５），Ｎ21＝２４
Ｌ22＝４√３，Ｎ22＝３２
Ｌ23＝√（３２＋８√５），Ｎ23＝２４
Ｌ24＝√（４４＋４√５），Ｎ24＝２４
Ｌ25＝√（２８＋１２√５），Ｎ25＝４
Ｌ26＝２√１４，Ｎ26＝１２
Ｌ27＝√（４０＋８√５），Ｎ27＝２４
Ｌ28＝√（５２＋４√５），Ｎ28＝１２
Ｌ29＝√（３６＋１２√５），Ｎ29＝４
Ｌ30＝８，Ｎ30＝１
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【３】結論
正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．たとえば，正５胞体は（−σ，１／τ，１／τ，１／τ），（１／τ，−σ，１／τ，１／τ），（１／τ，１／τ，−σ，１／τ），（１／τ，１／τ，１／τ，−σ），（１，１，１，１）を結んでできる．しかしながら，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れない．
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