素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

より，もっとよい近似では

　　ｌｎｘ−３／２＜ｘ／π（ｘ）＜ｌｎｘ−１／２

　　ｘ／（ｌｎｘ−３／２）＜π（ｘ）＜ｘ／（ｌｎｘ−１／２）

　ｎと２ｎの間に素数がある・・・．実はチェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが，１９１１年，イタリアの数学者ボノリスがｎと３ｎ／２の間にある素数の個数の近似式を導いたことが知られています．

　直接，素数定理から漸近表現を求めると

　　π（３ｘ／２）−π（ｘ）〜３ｘ／２ｌｎ（３ｘ／２）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜ｘ／２ｌｎｘ−３ｘｌｎ（３／２）／２（ｌｎｘ）^2

一方，

　　π（２ｘ）−π（ｘ）〜２ｘ／ｌｎ（２ｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）

　〜ｘ／ｌｎｘ−２ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2

であるから，約半分ということになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝