２（２^n−１）胞体，３^n−１胞体の面数公式は

　　２（２^n−１）胞体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　３^n−１胞体の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

として，

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)Ｎj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

ときれいな形にまとめられる．

　（その１２７）（その１２８）をこれらの結果と比較して一致するかどうかを調べるために，これをｆ0^(n)の関数として表すことにしよう．

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［１］２（２^n−１）胞体の場合

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)n+1Ｃk+1ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

　　ｆ0^(n)＝（ｎ＋１）！＝ｆ0

　　ｆ1^(n)＝ｎ／２・ｆ0

より

　　ｆk^(n)＝ｆ0Σ(j=0~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！

　　ｆ1^(n)＝ｆ0／２！（ｎ−１）！Σ(j=0~1)ｆ(1-j)^(n-1ｰj)

＝ｆ0／２！（ｎ−１）！・（ｆ1^(n-1)＋ｆ0^(n-2)）

＝ｆ0／２！（ｎ−１）！・（（ｎ−１）／２・ｎ！＋（ｎ−１）！）

＝ｆ0・（ｎ（ｎ−１）／４＋１／２）

　　ｆ2^(n)＝ｆ0Σ(j=0~2)ｆ(2-j)^(n-1ｰj)／３！（ｎ−２）！

＝ｆ0／３！（ｎ−２）！・（ｆ2^(n-1)＋ｆ1^(n-2)＋ｆ0^(n-3)）

＝ｆ0／３！（ｎ−２）！・（ｆ2^(n-1)＋（ｎ−２）／２・（ｎ−１）！＋（ｎ−２）！）

＝ｆ0・（ｆ2^(n-1)／６（ｎ−２）！＋（ｎ−１）（ｎ−２）／１２＋１／６）

なる漸化式に帰着される．

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［２］３^n−１胞体の場合

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)２^(k+1)nＣk+1ｆ(k-j)^(n-1ｰj)　　　（ｋ≦ｎ−２）

　　ｆ0^(n)＝２^n・ｎ！＝ｆ0

　　ｆ1^(n)＝ｎ／２・ｆ0

より

　　ｆk^(n)＝ｆ0Σ(j=0~k)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)２^(k+1-n)／２（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ−１）！

　　ｆ1^(n)＝ｆ0・２^(2-n)／２！（ｎ−２）！Σ(j=0~1)ｆ(1-j)^(n-1ｰj)

＝ｆ0・２^(2-n)／２！（ｎ−２）！・（ｆ1^(n-1)＋ｆ0^(n-2)）

＝ｆ0・２^(2-n)／２！（ｎ−２）！・（（ｎ−１）／２・２^(n-1)（ｎ−１）！＋２^(n-2)（ｎ−２）！）

＝ｆ0・（（ｎ−１）^2／２＋１／２）

　　ｆ2^(n)＝ｆ0・２^(3-n)／３！（ｎ−３）！Σ(j=0~2)ｆ(2-j)^(n-1ｰj)

＝ｆ0・２^(3-n)／３！（ｎ−３）！・（ｆ2^(n-1)＋ｆ1^(n-2)＋ｆ0^(n-3)）

＝ｆ0／３！（ｎ−３）！・（ｆ2^(n-1)＋（ｎ−２）／２・２^(n-2)（ｎ−２）！＋２^(n-3)（ｎ−３）！）

＝ｆ0・（ｆ2^(n-1)／６（ｎ−３）！＋２^(n-3)（ｎ−２）^2／６＋２^(n-3)／６）

なる漸化式に帰着される．

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