ｎ次元超立方体の対称超平面は２種類あります．ひとつは相対する超平面のの中央にあたるｎ−１次元超立方体（ｎ枚）ともうひとつは相対する超辺と中心からできるｎ−１次元直方体（ｎ（ｎ−１）枚）です．対称超平面の個数は合計ｎ^2枚です．

　この断面に垂直な単位ベクトルａと断面積は，それぞれ

［１］（１，０，０，・・・，０），１

［２］（１／√２，１／√２，０，・・・，０），√２

で表されます．

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【１】失敗例

　切断面［２］はｎ−１次超直方体であるから，その辺数は（ｎ−１）２^(n-2)．したがって，切半体の辺数は

　　（ｎ２^(n-1)−（ｎ−１）２^(n-2)）／２＋（ｎ−１）２^(n-2)

一般にｋ次元面数は

　　（２^(n-k)nＣk−２^(n-1k)n-1Ｃk）／２＋２^(n-1k)n-1Ｃk

　しかしながら，この式は間違いである．たとえば，ｎ−１次元面数は

　　（２ｎ−２（ｎ−１））／２＋２（ｎ−１）＝２ｎ−１

となって，ｎ＋２にはならないのである．

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【２】成功例

　そこで，ひとつの対角線を含む切断面の座標をとって

　　ｘ1＋ｘ2＝０

上に含まれる頂点数を求めてみることにすると

　　（１，−１，＊，・・・＊），（−１，１，＊，・・・＊）

の２^(n-1)個あるから，切半体の頂点数は

　　（２^n−２・２^(n-2)）／２＋２^(n-1)＝２^n−２^(n-2)＝３・２^(n-2)

　次に，切断面に含まれる辺数は・・・と低次元の場合の例から地道に調べていくのが本筋であろう．少し考えると直観が働いてくる．

　切り口の赤道上にはｎ−２次超立方体２個とｎ−１次超立方体２個がある．そこで，ｎ次超立方体の面数をＮ(n,k)＝２^(n-k)nＣkとすると

　　ｆ(n,k)＝（Ｎ(n,k)−２Ｎ(n-2,k)）／２＋Ｎ(n-1,k)

＝Ｎ(n,k)／２＋Ｎ(n-1,k)−Ｎ(n-2,k)）

＝２^(n-k-1)nＣk＋２^(n-k-1)n-1Ｃk−２^(n-k-2)n-2Ｃk

ただし，ｋ＝ｎ−１のとき，ｆ(n,k)＝ｎ＋２，ｎ＝２，ｋ＝ｎ−１＝１のとき，ｆ(n,k)＝３とする．

　ｋ＝０のとき，ｆ(n,k)＝２^n−２^(n-2)＝３・２^(n-2)

　ｋ＝１のとき，ｆ(n,k)＝（２ｎ−１）２^(n-2)−（ｎ−２）２^(n-3)

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