＋１，−１を成分とする直交行列（アダマール行列とよばれる）には「ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んで正軸体を作ることはできるか」という幾何学的な意味合いを与えることができる．

　一方，「ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んでｎ正単体を作ることはできるか」という問題では，全体を１次元挙げて，ｎ＋１正軸体のｎ次元胞をとるのが最も簡単である．したがって，「ｎ＋１次元超立方体の頂点をうまく結んで正軸体を作ることはできるか」と同等の問題であるから，ｎ＋１＝４ｍであることが必要条件となる．但し，これは中心がもとの超立方体と同じ位置でない正軸体の話である．

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【１】アダマール行列の直積

　アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから，　　ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn

が成り立つ．

　最も簡単なアダマール行列は

　　Ｈ2 ＝［１，　１］

　　　　　［１，−１］

である．すべての他のアダマール行列はｎ＝４ｋであることが必要である．

　とくに興味深いのは「直積」

　　Ｈ4＝Ｈ2×Ｈ2（２^2×２^2行列），

　　Ｈ8＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2（２^3×２^3行列），

　　Ｈn＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2・・・（２^n×２^n行列）

によって，Ｈ2から得られるｎ＝２^mのシルベスタ型のアダマール行列で，

　　　　　［１，　１，　１，　１］

　　Ｈ4 ＝［１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，　１，　１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，　１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，　１，　１，−１，−１］

　　Ｈ8 ＝［１，−１，−１，　１，　１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，−１，−１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，−１，　１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，−１，−１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，−１，　１，−１，　１，　１，−１］

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　なお，Ａ（ｍ×ｎ行列）とＢ（ｍ’×ｎ’行列）の直積（クロネッカー積）は，２つの行列の各要素を直接乗じて作る（ｍｍ’×ｎｎ’）行列である．直積では第１項の各要素をその項と第２項との積で置き換えることによって定義される．

　両者の成分のすべての積を作り，各要素を（ｃi'j'）＝（ａijｂkl）において，

　　ｉ’＝ｉ＋ｍ（ｋ−１）

　　ｊ’＝ｊ＋ｎ（ｌ−１）

の式にしたがって並べると，

　　１≦ｉ≦ｍ，１≦ｊ≦ｎ，１≦ｋ≦ｍ’，１≦ｌ≦ｎ’

より，

　　１≦ｉ’≦ｍｍ’，１≦ｊ’≦ｎｎ’

　また，正方行列Ｘ（ｎ×ｎ行列）とＹ（ｍ×ｍ行列）の直積の固有値は，Ｘのｎ個の固有値とＹのｍ個の固有値の積である．テンソルの数学的定義はそれが何であるかよりも座標変換に対していかに振る舞うかによって規定するから，理解しにくいかもしれない．

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【２】アダマール行列とアダマールの定理

　アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから，

　　ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn

が成り立つ．

　　ｄｅｔ｜ｎＩn｜＝ｎ^n

より

　　ｄｅｔ｜Ｈn｜＝ｎ^n/2

　もっと一般に，各成分が１か−１のｎ×ｎ行列の行列式はｎ^n/2以下である．

　アダマールの定理の証明は，行列式の幾何学的意味を理解すれば簡単である．行列式の絶対値は，ｎ個のそれぞれの長さ√ｎの行ベクトルが作るｎ次元平行六面体の体積だから，その値は（√ｎ）^n＝ｎ^n/2以下である．等号はベクトル同士が全部直交するときに限る．

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