正５角形の作図ではｙ＝ｘ＋１／ｘとおいて作図可能であることをうまく証明できたが，正１７角形ではこの変数変換では失敗する．

　　ｚ＝ｘ^4＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^4

　　ｗ＝ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^2＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^2＋１／ｘ^4＋１／ｘ^8

と変数変換すると（もう１ステップ要するが）ｎ＝５の場合と全く同様に証明することができる．

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　１６次方程式

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／１７）

と変数変換をし，最後に２次方程式に帰着させると失敗する．

　　ｚ＝ｘ^4＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^4

　　ｗ＝ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^2＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^2＋１／ｘ^4＋１／ｘ^8

と変数変換する手がある．

　　ζ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

　　ｙ＝ζ＋ζ^-1＝２ｃｏｓ（２π／１７）

　　ｙ’＝ζ^4＋ζ^-4

　　ｚ＝ζ＋ζ^4＋ζ^-1＋ζ^-4

　　ｚ’＝ζ^2＋ζ^8＋ζ^-2＋ζ^-8

　　ｗ＝ζ＋ζ^2＋ζ^4＋ζ^8＋ζ^-1＋ζ^-2＋ζ^-4＋ζ^-8

　　ｗ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^6＋ζ^7＋ζ^-3＋ζ^-5＋ζ^-6＋ζ^-7

とおく．

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

より，ｗ＋ｗ’＝−１，ｗｗ’＝−４となるから，ｗはｘ^2＋ｘ−４＝０の根．　　ｗ＝（√１７−１）／２＝１．５６１５５

　同様に，

　　ｚ＋ｚ’＝ｗ，ｚｚ’＝−１となるから，ｚはｘ^2−ｗｘ−１＝０の根．　　ｚ＝（ｗ＋√（ｗ^2＋４））／２＝（−１＋√１７＋√（３４−２√１７））／４＝２．０４９４８

　　ｙ＋ｙ’＝ｚ，ｙｙ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^-3＋ζ^-5＝ｚ”，ｚ”’＝ζ^6＋ζ^7＋ζ^-6＋ζ^-7とおくと，

　　ｚ”＋ｚ”’＝ｗ’，ｚ”ｚ”’＝−１

となるから，ｚ”はｘ^2−ｗ’ｘ−１＝０の根．

　　ｚ”＝（−１−√１７＋√（３４＋２√１７））／４

　ｙはｘ^2−ｙｘ＋ｙ”＝０の根より，

　　ｙ＝２ｃｏｓ（２π／１７）＝１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４

が得られる．→コラム「初等幾何の楽しみ（その２４）」参照

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