Ｓ1＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ2＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ3＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

は多くの読者にとってお馴染みの公式であろう．さらに，

Ｓ4＝Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Ｓ5＝Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Ｓ6＝Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Ｓ7＝Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

と続く．

　なお，ベルヌーイ多項式の最初のいくつかは

　　Ｂ0(x)＝１

　　Ｂ1(x)＝ｘ−１／２

　　Ｂ2(x)＝ｘ^2−ｘ＋１／６

　　Ｂ3(x)＝ｘ^3−３ｘ^2／２＋ｘ／２

　　Ｂ4(x)＝ｘ^4−２ｘ^3＋ｘ^2−１／３０

　　Ｂ5(x)＝ｘ^5−５ｘ^4／２＋５ｘ^3／３−ｘ／６

　　Ｂ6(x)＝ｘ^6−３ｘ^5＋５ｘ^4／２＋ｘ^2／２＋１／４２

　　Ｂ7(x)＝ｘ^7−７ｘ^6／２＋７ｘ^5／２＋７ｘ^3／６＋ｘ／６

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　ファウルハーバーは，ベキ和の公式

　　Ｓs＝Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

において，ｓ＝１７まで計算して，

［１］ｓが奇数のとき，ＳsはＳ1の多項式で表されることを見出し，

［２］ｓが偶数のときもこのことが成り立つと予想した．

　ヤコビはファウルハーバーの予想を証明し，

［３］ｓが偶数のときＳsはＳ2で割り切れ，さらに

［４］Ｓs／Ｓ2はＳ1の多項式で表されることを示した．

たとえば，

　　Ｓ3＝Ｓ1^2

　　Ｓ4＝Ｓ2（６Ｓ1−１）／５

　　Ｓ5＝（４Ｓ1^3−Ｓ1^2）／３

　　Ｓ6＝Ｓ2（１２Ｓ1^2−６Ｓ1＋１）／７

　ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができる．また，Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）となる．

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［Ｑ１］ＳsはＳ1で割り切れることを示せ．

　　Ｓs（ｘ＋１）−Ｓs（ｘ）＝（ｘ＋１）^s

　　Ｓs（０）＝０→Ｓs（−１）＝０

したがって，Ｓsはｘ（ｘ＋１）で割り切れる．

［Ｑ２］ｓが偶数の場合，ＳsはＳ2で割り切れることを示せ．

　　Ｓ2n（ｘ）＝Ｂ2n+1（ｘ＋１）／（２ｎ＋１）

　　Ｓ2n（−１／２）＝Ｂ2n+1（１／２）／（２ｎ＋１）

　　Ｂ2n+1（１／２）＝０→Ｓ2n（−１／２）＝０

したがって，Ｓ2nは２ｘ＋１で割り切れる．［Ｑ１］と併せて，

　　Ｓ2nはｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）で割り切れる．

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