【１】正軸体の場合

　ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んで正軸体を作ることはできる場合があります．正軸体は中心を通るｎ本の互いに直交する直線上に等間隔に点をとった合計２ｎ点で作られます．したがって，座標（±１，±１，・・・，±１）（ｎ次元ベクトル）の中からうまくｎ個の互いに直交する組が選べれば正軸体ができます．

　これは＋１，−１を成分とする直交行列（アダマール行列とよばれる）を作るのと同一で，ｎが４の倍数であることが必要条件になります．逆にｎが４の倍数のとき，アダマール行列ができるか？は有名な未解決問題です（たぶんそうだろうと考えられ，かなり多くのｎについて正しいことがわかっています）．

　だから，ｎが４の倍数である場合にはうまく頂点を選んで正軸体ができる場合があります（ｎ＝４はもちろんだが，ｎ＝８など）．

　但し，これは中心をもとの超立方体と同じ位置にする正軸体の話です．ｎが４の倍数でないとき，本当にどう頂点を選んでも同じ次元の正軸体ができないかどうかは（たぶん不可能と思いますが）私の調べた限りではわかっていないようです．

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【２】正単体の場合

　正単体の場合は一層厄介ですが，たぶん不可能と思います．１辺の長さ１のｎ次元超立方体の頂点間の距離は１，√２，√３，・・・，√ｎのいずれかであり，１辺の長さａのｎ次元正単体の体積は（ｎ＋１）^1/2ａ^n／２^n/2ｎ！ですから，格子点を結んでできる単体が正単体になりうる必要条件は（ｎ＋１）^1/2が√２，√３，・・・，√ｎで有理的に表される必要があります．

　これは特定のｎについては可能（例えばｎ＝３なら（ｎ＋１）^1/2＝２で実際可能）ですが，ｎ＝２のとき正方格子の頂点を結んで正三角形ができない（√３が無理数のため）の証明と相通じます．ｎ＝４では（ｎ＋１）^1/2＝√５が邪魔して，同様に不可能と思います．もちろんこれは可能なための必要条件のひとつにすぎず，可能な場合があるかもしれません（例えばｎ＝８について）．

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【３】まとめ

　といったわけで，この設問はもはや一般論では済まず，次元数ｎの整数論的な性質を考慮に入れて個々に調べなければならない難問です．

　なお、超立方体／正軸体の自己同型変換群の位数２^nｎ！は一般に正単体の位数（ｎ＋１）！の倍数ではありませんが，そのことだけで含まれないと結論するのは早計です．実際これに近い誤りを犯した文献もある由です．

　ところで「どのようにとっても不可能」という事実の証明は予想外に難物のようで，下手すると「全数検査」に持ち込まなければならない場合もあるようです．うまい「不変量」をみつけて「エレガントな証明」をするのが数学の本質でしょうが，そのようにうまくゆくとは限らない場合もあるように思います．

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【補】アダマール行列

　アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから，　　ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn

が成り立つ．

　最も簡単なアダマール行列は

　　Ｈ2 ＝［１，　１］

　　　　　［１，−１］

である．すべての他のアダマール行列はｎ＝４ｋであることが必要である．

　とくに興味深いのは「直積」

　　Ｈ4＝Ｈ2×Ｈ2，Ｈ8＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2，・・・

によって，Ｈ2から得られるｎ＝２^mのシルベスタ型のアダマール行列で，

　　　　　［１，　１，　１，　１］

　　Ｈ4 ＝［１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１］

　　　　　［］，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，　１，　１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，　１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，　１，　１，−１，−１］

　　Ｈ8 ＝［１，−１，−１，　１，　１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，−１，−１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，−１，　１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，−１，−１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，−１，　１，−１，　１，　１，−１］

　アダマール行列は，ＦＦＴ（高速フーリエ変換）の基本原理とも関係している．

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