超立方体の頂点をひとつおきにとると別の正多面体になるのは３次元・４次元の特殊性である（５次元以上の空間では正多面体ではなく，１種の準正多面体になる）．

　　２^n＝２・２ｎ　→　４次元超立方体の頂点をひとつおきに結べば，正１６胞体ができる．

　　２^n＝２・（ｎ＋１）　→　３次元立方体の頂点をひとつおきに結べば，正４面体ができる．

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　５次元以上で，超立方体（頂点数２^n），正軸体（頂点数２ｎ），正単体（頂点数ｎ＋１）の３種類のｎ次元正多胞体の包含関係を調べるために，頂点数の整除性をみるのはどうだろうか？

［１］超立方体と正軸体

　　２^n＝ｋ・２ｎ

の形でなければならないことがわかる．ｋｎ＝２^n-1より，ｎは（ｋも）２^mの形でなければならない．ｎは偶数．

［２］超立方体と正単体

　　２^n＝ｋ・（ｎ＋１）

ｎ＋１は（ｋも）２^mの形でなければならない．ｎは奇数となり［１］と矛盾する．よって，ｎ（≧５）次元超立方体は万有正多面体とはなり得ない．

［３］正軸体と正単体

　　２ｎ＝ｋ・（ｎ＋１），ｋ≧２

より，（任意のｎ次元において）包含関係が成立することはあり得ない．

　実はこの議論は正しくない．正α胞体に正β胞体が含まれる場合，両者の包含関係は頂点数の整除性によって決定されるとしたのは早とちりなのである．たとえば，正１２面体（頂点数２０）の中に立方体（頂点数８）を内接させることはできるが，２０は８で割り切れない．

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【１】証明

　そこで，対角線の長さを求めてみることにした．

　外接級の半径を√ｎとした場合，正２ｎ胞体の対角線の長さは√４ｋで与えられる（ｋ＝１〜ｎ）．正２^n胞体の対角線の長さがこのいずれかに等しくなるのは２ｎ＝４ｋのとき，すなわち，偶数次元のときである．

　一方，正ｎ＋１胞体の対角線の長さが正２ｎ胞体の対角線のいずれかに等しくなるのは２（ｎ＋１）＝４ｋのとき，すなわち，奇数次元のときである．

　故に，正２ｎ胞体は万有多胞体ではなく，万有多胞体は存在しない．これもほぼone sentence proofといってよいであろう．

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【２】雑感

　正多胞体甲の頂点をうまく結んで，同じ次元の正多胞体乙ができても，必ずしも甲の全頂点をうまく分けて乙の族のどれかに分割できるとは限りません．

　実際，正１２面体（頂点数２０）＞正六面体（頂点数８），４次元の正１２０胞体（頂点数６００）＞正８胞体（頂点数１６）はそうなっています．だから，頂点数が約数になっていなくても別に矛盾ではないと思います．正８胞体の頂点数１６が正１２０胞体の頂点数６００の約数でないから，正１２０胞体は正８胞体を含まないとまじめに書いた本もありましたが，少々早合点？

　他方，５次元以上で４次元の正１２０胞体のような「万能正多胞体」が存在しないことも既知の結果です．むしろ３次元，４次元の場合が例外的かもしれません．

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