単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対しても，
Σ(1,n)｜ＱＰj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ （ｎ＞ｍ）
となる．
今回のコラムでは奇数乗和の一般式を導出してみることにする．単位円上の動点に対して，ｎ＞ｍのとき偶数乗和は一定となるが，奇数乗和は，定数にならない．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】指数を大きくすると（奇数次）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＝２ｃｏｔ（π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＝６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＝２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＝７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）
２，６，２０，７０は中央二項係数（２ｍ，ｍ）であり，偶数乗和
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ
との類似がみられる．また，奇数乗和ではｎ＞ｍといった必要条件も不要である．
また，不等式
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m-1＜Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ
が成り立つ．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】セームールの定理
単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対しても，
Σ(1,n)｜ＱＰj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ （ｎ＞ｍ）
となる．
このことを拡張すると，
［１］三角形ＱＰjＰj+1の面積をＳjとすると
Σ(1,m)Ｓj^2＝一定
である．
［２］Ｐ（ｘ，ｙ）を次数ｎ未満の多項式とするとき，単位円上の平均と内接正ｎ角形の頂点での平均は等しい．
［３］Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）を次数ｎ未満の多項式とするとき，単位球上の平均と内接正多面体（頂点数ｎ）の頂点での平均は等しい．
以下ではこのことを補足しておきたい．ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθであるから，
Ｐ（ｘ，ｙ）＝Ｐ（θ）
したがって，単位円上の平均は
∫(0,2π)Ｐ（θ）ｄθ／２π
となる．
一方，内接正ｎ角形の頂点での平均とは，
ｘ＝ｃｏｓ（２π／ｎ・ｊ），ｙ＝ｓｉｎ（２π／ｎ・ｊ），θ＝２π／ｎ・ｊ
より
Σ(0,n-1)Ｐ（θ）／ｎ
単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対して，４乗和
Ｐ（ｘ，ｙ）＝Ｐ（θ）＝Σ(1,n)｜ＱＰj｜^4
として定義する．
Σ(1,n)｜ＱＰj｜^4＝６ｎ
であるから，内接正ｎ角形の頂点での平均は
Σ(0,n-1)Ｐ（θ）／ｎ＝６
したがって，単位円上の平均は
∫(0,2π)Ｐ（θ）ｄθ／２π＝６
で，単位円上での積分は
∫(0,2π)Ｐ（θ）ｄθ＝６・２π
である．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ここでは，
Ｐ（ｘ，ｙ）＝Ｐ（θ）＝Σ(1,n)｜ＱＰj｜^4
として定義したが，次数ｎ未満の多項式，たとえば
Ｐ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋ｘｙ^2 （次数３）
の場合も正ｎ角形の頂点上での平均と単位円上の平均が一致するのである．
また，Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）を次数ｎ未満の多項式とするとき，単位球上の平均と内接正多面体（頂点数ｎ）の頂点での平均は等しい・・・は，Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）の次数が２の場合は正多面体に限らず，重心が（０，０，０）であれば成り立つ．たとえば，正多面体でない準正多面体として３次元の立方八面体や１２面・２０面体など，この性質をもつ多面体は多数あることが知られている．
次数が３のとき正多面体はこの性質をもつが，一般のｎについてもこの性質をもつ有限集合が存在することが，イギリスの数学者セームールによって証明されている．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】良い配置（積分が平均値で置き換えられるか？）
「良い配置」とは任意の次元の半径１の球面上の有限個の点集合Ｋで，ｆ（ｘ）が２次式以下の多項式のとき，積分がＫの点上の値の平均値に等しい
∫(S)ｆ（ｘ）ｄσ＝Σｆ（Ｐ）／＃（Ｋ）
ｄσは∫(S)ｄσ＝１と標準化した面積分
が成立する集合です．
ｆ（ｘ）として，特定の頂点からの距離の２乗−定数（全体の積分が０になるように定数を選ぶ）とした場合，それを各頂点について加えた形が
ＳＳ＝ｎ^2
に相当します．
正多面体の頂点の集合が「よい配置」であることはかなり以前より知られていますが，正多面体でない準正多面体でも３次元の立方八面体や１２面・２０面体など，この性質をもつ多面体は多数あります．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝