コラム「平行体の体積とグラミアン（その５６）」について，阪本ひろむ氏から指摘されたことであるが，直線ｐiｐjを
ｘ＝ｐi＋ｔ（ｐj−ｐi）＝（１−ｔ）ｐi＋ｔｐj
として超平面
ｃk・（ｘ−ｂ）＝０
との交点を求めた方がよい．ｔが実数ならば直線，０≦ｔ≦１ならば線分のパラメータ表示になるからである．
今回のコラムでは多面体についての雑感をいくつか記してみたい．
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【１】正２４胞体
３次元では立方体と正八面体の頂点から菱形１２面体が作られる．菱形１２面体はカタラン立体のひとつであり，空間充填図形でもある．
同様のことを４次元で行う．超立方体の１６頂点と正８胞体の８頂点を併せた２４頂点から，正２４胞体ができる．その意味で，正２４胞体は菱形十二面体の拡張である．
驚いたことに正２４胞体は切頂八面体の拡張でもある．４次元立方体の１６個の頂点を一斉に，２次元面の中心を通る超平面で切り落として（切頂して）残る図形は空間充填図形となるが，これが正２４胞体である．
正２４胞体では中心から頂点までの距離は辺の長さに等しい．中心および各頂点に半径１の球を置くと，２４個の球が接する配置ができる．２５個以上接する配置は存在しないことが証明されている．
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【２】３次元と４次元の特殊性
ところで，３次元立方体の１つおきの頂点を結べば正四面体，４次元立方体の１つおきの頂点を結べば正１６胞体ができます．しかし，５次元以上で超立方体の頂点を１つおきにとっても，正多面体にはなりません．
超立方体の頂点を１つおきにとった図形を半超立方体と呼ぶのですが，その頂点数は２^n-1．一方，正単体（ｎ＋１），正軸体（２ｎ），超立方体（２^n）ですがら，ｎ≧５のとき相異なるからです．
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【３】鏡映群
いくつかの鏡映変換により生成される直交変換群を鏡映群という．鏡映群は数学の様々に分野で広く現れる重要な研究対象である．無限の鏡映群は基本的には直交群しかないが，有限の鏡映群は
Ａn（ｎ≧１），Ｂn（ｎ≧２），Ｄn（ｎ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｈ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）
に分類される．
下付きの指数はそれが働く空間の次元である．Ａnはｎ次元正単体の対称性の群と解釈することができる．Ｂn＝Ｃnはｎ次元立方体（正８面体）の対称性の群であり，位数は２^nｎ！である．ＤnはＢnに対応する群の指数２の部分群に対応している．Ｈ3は正２０面体の対称性の群に対応し，Ｉ2(ｐ)は正２面体群Ｄpに対応している．Ｈ4とＦ4はそれぞれ４次元の正多胞体（正６００胞体，正２４胞体）に対応している．
ここにあげられた群はＨ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）を除いて，すべて結晶群である．なお，線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論である．そこでの理論の多くは，例外型の結晶群（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2）に対してだけでなく，結晶群でないユークリッド鏡映群（Ｉ2(p)，Ｈ3，Ｈ4）に対しても成り立つ．
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また，正多面体の変換群は，３種類の回転対称性：
正４面体群＝Ａ4（４個の要素からなる偶置換全体＝交代群）
立方体（正８面体）群＝Ｓ4（４個の要素からなる置換全体）
正１２面体（正２０面体）群＝Ａ5（５個の要素からなる偶置換全体）
に限られます．これらの多面体を自分自身に移す空間の運動がそれぞれ４！／２＝１２，４！＝２４，５！／２＝６０個あるという意味なのですが，コーシーは星形正多面体を定める証明に変換群を用いています（１８１１年）．
なお，３次元空間の回転対称性には，この他に，正ｎ角錐のもつ巡回群Ｃnと正ｎ角柱のもつ二面体群Ｄnがあります．桜の花はＣ5，雪の結晶はＤ6というわけです．
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【４】Δ18は存在しない
すべての面が正三角形で構成されている凸多面体をデルタ多面体といいます．デルタ多面体の面数は
ｆ＝４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０
で全部で８種類あります．このうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体に，デルタ６面体（重三角錐），デルタ１０面体（重五角錘），デルタ１２面体，デルタ１４面体（三角柱の正方形面に四角錐を３個載せる），デルタ１６面体（四角反柱の正方形面に四角錐を２個載せる）はジョンソン立体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あり，面の総数が指定されれば面の配置は唯一に決定されます．逆にいうと，もし凸多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．
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オイラーの多面体定理は，８個の凸なデルタ多面体が存在することの証明の基礎にもなります．３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．
また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの頂点にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では
ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ
でしたが，正則とは限らない一般の多面体では
Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，
Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ
となります．
デルタ多面体では，ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから
３ｆ＝２ｅ （ｆは偶数）
３ｖ≦２ｅ≦５ｖ
これをオイラーの多面体定理
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
に代入すると
６≦ｅ≦３０
これより
４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）
が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．
奇妙に感じられるかもしれませんが，デルタ１８面体は存在しません．このことは，１９４２年，フロイデンタールによって証明されたのですが，この証明は殊の外厄介で，結局は頂点数１１の形を分類してあらゆる可能性を調べても凸体にならないことを確かめるという手間を要します．ともあれ，ｆ＝１８（ｖ＝１１）はどうしても凸にならないのです．
また，デルタ多面体は正三角錘，正四角錘，正五角錘，正三角柱，四角反柱に分解されるのですが，デルタ１２面体だけは例外です．デルタ１２面体は双子の正１２面体とも呼ばれてきた多面体ですが，この多面体の存在は他よりも初等的でなく，それを構成するには３次方程式の解を必要とします．
［補］この方程式は，ｘ^2＝ｚとおくと
ｚ^4−２１ｚ^3＋１３２ｚ^2−３２０ｚ＋２５６＝０
であるが，
（ｚ−４）（ｚ^3−１７ｚ^2＋６４ｚ−６４）＝０
となって３次方程式に帰着される．ゆえにデルタ１２面体は定規とコンパスによって作図可能ではない．
デルタ多面体による空間充填は正四面体と正八面体の組み合わせがよく知られていますが，そのほかにはないのでしょうか？ デルタ多面体のすべての二面角を計算して空間充填の必要条件を満たす解を探索すると（正四面体，デルタ６面体）×（正八面体）の組み合わせしかないことがわかります．デルタ６面体は正四面体を２つ貼り合わせた立体ですから，デルタ多面体による空間充填は本質的に正四面体と正八面体の組み合わせのほかにはないといえるのです．
なお，デルタ多面体に対して，正方形のみによる凸多面体は立方体，正五角形のみによる凸多面体は正十二面体しかなく，正六角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできません．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになります．
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