今回のコラムでは，

［１］正２４胞体はゾノトープである

［２］正２４胞体はゾノトープではない

の真偽について考えてみたい．

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【１】ゾノトープ・平行多面体・置換多面体

　ゾノトープ（ゾーン多面体）とはｎ次元立方体のアフィン射影による像のことである．また，置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影で，単純ゾーン多面体であるから，中心対称で面はすべて重心に関して中心対称なzonohedronである．すなわち，ｎ次元置換多面体は平行多面体の定義を満たしている．

　平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，３次元格子から決まる本質的なボロノイ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体（平行６面体を含む），６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体しかない．このうち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致する．

　ゾーン多面体とは立方体のアフィン射影で表される多面体であるが，これらの平行多面体はゾーン多面体の定義を満たしていることになる．　切頂八面体からあるゾーンを抜くと，長菱形二十面体→菱形十二面体，六角柱→立方体になるので，これらは一連のゾーン多面体と考えることができる．

　立方体のすべての稜は３方向，菱形十二面体，六角柱では４方向，長菱形十二面体では５方向，切頂八面体では６方向を向く．一般にｎ次元平行多面体ではｎ方向〜ｎ（ｎ＋１）／２方向を向くことになるが，それに伴って胞数は２ｎ〜２（２^n−１），頂点数は２^n〜（ｎ＋１）！という構成になっている．

　２≦ｋ≦ｎ−２に対して，すべてのｋ面が中心対称なのは，ゾーン多面体の限られる．ただし，ｋ＝ｎ−１が中心対称であるとしても，その多面体がゾーン多面体であるとは限らない（たとえば，４次元正２４胞体）．ゾノトープという性質はアフィン射影で保存される．また，ゾーン多面体は一般に単純多面体ではない．たとえば，菱形１２面体は８個の頂点は単純であるが，残り６個の頂点は単純ではない．

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【２】正２４胞体はゾノトープではない

　正２４胞体は菱形十二面体の拡張であるとともに，切頂八面体の拡張でもある．

　ミンコフスキー和は

［１］平行多面体，黄金菱形多面体

［２］２（２^n−１）面体（置換多面体）

［３］３^n−１面体

の体積計算には有効であるが，

［４］２^n＋２ｎ面体

に対しては有効には働いてくれない．たとえば，４次元正２４胞体はゾノトープではないからである．

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