４次元立方体の１６個の頂点を一斉に，２次元面の中心を通る超平面で切り落として（切頂して）残る図形は空間充填図形となる．これが正２４胞体である．

　今回のコラムでは，

［１］正２４胞体は平行多面体である

［２］正２４胞体は平行多面体ではない

［３］正１６胞体は平行多面体である

［４］正１６胞体は平行多面体ではない

の真偽について考えてみたい．

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【１】４次元空間の正多胞体

　R^2の正多角形は無限個あります．しかし，R^3のなかの正多面体としては５種類，R^4では６種類，５次以上では正（ｎ＋１）胞体（正４面体の拡張），正２ｎ胞体（正６面体の拡張），正２^n胞体（正８面体の拡張）の３種類しか存在しないことが知られています．

　二次元における正多角形，三次元における正多面体と同じ概念が四次元における正多胞体で，正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類です．三次元の正多面体は５種類であり，五次元以上でも３種類しかないのに，四次元では６種類もあることは四次元の不思議ともいうべき事実です．

　二次元空間の正三角形の相当する三次元図形は正四面体，正方形は立方体，正五角形は正十二面体に相当しますが，４次元の正多胞体も三次元空間の正多面体に相当する図形です．

　　正５胞体　　　　（４次元正４面体）

　　正８胞体　　　　（４次元正６面体：超立方体）

　　正１６胞体　　　（４次元正８面体）

　　正２４胞体

　　正１２０胞体　　（４次元正１２面体）

　　正６００胞体　　（４次元正２０面体）

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【２】双対性と中心対称性

　３次元正多面体のなかで，正４面体だけは自己双対であり，特殊な位置を占めているのですが，正４面体の特殊性はこればかりではありません．正４面体以外の４つの正多面体は中心対称的であるのに対して，正４面体はそうではないのです．

　４次元には６種類の正多胞体があります．正８胞体（４次元立方体）のほか，

　　正５胞体（４次元正４面体：自己双対）

　　正１６胞体（４次元正８面体）

　　正２４胞体（相当する正多面体はない：自己双対）

　　正１２０胞体（４次元正１２面体）

　　正６００胞体（４次元正２０面体）

です．

　正２４胞体に相当する３次元正多面体はありません．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからです．正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのですが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできますから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当します．

４次元空間の正多胞体

　　　　　　境界多面体　　頂点数　　双対性　　　　　　　　　３次元対応

５胞体　　　正４面体　　　　　５　　自己双対（非中心対称）　正４面体

８胞体　　　立方体　　　　　１６　　１６胞体と双対　　　　　立方体

１６胞体　　正４面体　　　　　８　　　８胞体と双対　　　　　正８面体

２４胞体　　正８面体　　　　２４　　自己双対（中心対称）

１２０胞体　正１２面体　　６００　　６００胞体と双対　　　　正１２面体

６００胞体　正４面体　　　１２０　　１２０胞体と双対　　　　正２０面体

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【３】正２４胞体は平行多面体である

　正多面体の各面の中心（重心）を順に結んで立体を作ると，もとの正多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体ができます．互いに表と裏の関係にある多面体を双対多面体といいます．正四面体ではふたたび正四面体ができます．

　正２４胞体は自己双対とはいっても，正四面体のように面の対蹠が頂点になっているわけではありません．正２４胞体は中心対称であって，平行多面体なのです．

　正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあり，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．

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【４】正１６胞体は平行多面体ではない

　単独で空間を充填する平面充填正多角形は３種類（正三角形・正方形・正六角形），空間充填正多面体は１種類（立方体）ですが，４次元空間を１種類の正多胞体で埋めつくす図形は，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類であり，４次元の最密規則的充填構造は，正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．

　ところで，４次元立方体の１つおきの頂点を結べば，正１６胞体ができますから，正１６胞体は平行移動だけで空間充填することはできません．正１６胞体は平行多面体ではないのです．なお，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっています．

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