【１】シンク関数の無限積表示

　任意のｘに対して，無限積公式

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・

も示しておこう．

（証明）

　　ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ／２ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝８ｓｉｎｘ／８ｃｏｓｘ／８ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　　・・・・・

　　　　　　＝２^nｓｉｎｘ／２^nｃｏｓｘ／２^n・・・ｃｏｓｘ／２

　書き直すと

　　ｓｉｎｘ＝ｘ［ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）］ｃｏｓｘ／２・・・ｃｏｓｘ／２^n

　ここで，ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）→１

であるから，ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　　　　　　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

が得られる．

　この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．シンク関数

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝０

の解が±π，±２π，±３π，±４π，・・・となることを利用して，無限積表示すると

　　sinx/x=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)(1-x^2/16π^2)･･･

　　　　　=Π(1-x^2/k^2π^2)

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【２】シンク関数とゼータ関数

　ｓｉｎｘの代わりに，ｓｉｎ√ｘを考える．零点は

　　ｘ＝０，π^2，４π^2，９π^2，・・・

なので，関数

　　ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ√ｘ／√ｘ

の零点は

　　ｘ＝π^2，４π^2，９π^2，・・・

　また，

　　ｆ（ｘ）＝１−ｘ／６＋ｘ^2／１２０−・・・

　＝（１−ｘ／π^2）（１−ｘ／４π^2）（１−ｘ／９π^2）

ここで，ｘの係数を比較すると

　　ζ（２）＝π^2／６

となる．

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【３】おまけ

　素数をわたる無限積

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝４／３・９／８・２５／２４・４９／４８・・・＝π^2／６

が成り立つ．

　なぜならば，オイラー積より

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝Π１／（１−１／ｐ^2）＝π^2／６＝ζ（２）

　ついでながら，すべての素数をわたる無限積

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

が成り立つ．

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