微積の学び初めに，ｘ→０としたとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ→１

に出会う．この結果は

　　（ｓｉｎｘ）’＝ｃｏｓｘ，（ｃｏｓｘ）’＝−ｓｉｎｘ

を示すのに用いられる．

　その後，ｓｉｎｘのテイラー展開によって，無限級数

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・

が示される．

　コラム「シンク関数の数学的諸性質（その５）」ではシンク関数の積分不等式

　　1/π∫(0,∞)｜sin(x)/x｜^kdx≦１／√（２ｋ）　　（等号はｋ＝２のときに限る）

を検証した．今回のコラムでは，シンク関数の別の不等式を紹介したい．

　　［参］大関清太「不等式」共立出版

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【１】シンク関数の微分

　　ｄ／ｄｘ（ｓｉｎｘ／ｘ）＝ｃｏｓｘ／ｘ^2・（ｘ−ｔａｎｘ）

　ここで，ｇ（ｘ）＝ｘ−ｔａｎｘとおくと，

　　ｇ’（ｘ）＝１−（ｓｅｃｘ）^2≦０

よって，（０，π／２］でシンク関数は減少関数である．

　　ｓｉｎｘ／ｘ≧ｓｉｎ（π／２）／（π／２）＝２／π

　　ｓｉｎｘ／ｘ≧２／π　　　（ジョルダンの不等式）

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【２】シンク関数の不等式

　ｓｉｎｘ／ｘに関する無限積表示

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・

　　　　　　　　＝Π（１−ｘ^2／ｋ^2π^2）

より，

［１］ｓｉｎｘ／ｘ≧（π^2−ｘ^2）／（π^2＋ｘ^2）　　　（ｘ≠０）

［２］２／π＋（π^4−１６ｘ^4）／２π^5≦ｓｉｎｘ／ｘ≦２／π＋（π−２）（π^4−１６ｘ^4）／π^5　　　（０，π／２］

［３］１−ｘ^2／６≦ｓｉｎｘ／ｘ≦１−２ｘ^2／３π^3　　　（０，π／２）

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