ｎ次の行列式（determinant）はｎ個の項の積のｎ！個の項に適当な符号をつけた和として表される．符号をつけずに全部＋にして加えた式はpermanentと呼ばれる．訳語はないが，強いて訳せば永久式である．

　今回のコラムでは，永久式（permanent）の類似物を取り上げる．

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【１】リー・ヤンの定理

　　Ｘ＝｛１，２，３，・・・，ｎ｝

　　Ａ＝｛集合Ｘのｒ元からなる部分集合｝

　　Ｂ＝Ｘ−Ａ＝｛集合Ａの補集合｝

　　α：集合Ａの元，β：集合Ｂの元．

　互いに異なる整数α，β（１≦α，β≦ｎ）に対し，絶対値が１以下の実数ｘ（α，β）が与えられ，ｘ（β，α）＝ｘ（α，β）を満たすとする．このとき，集合Ａをわたる和

　　Ｐr＝ΣΠΠｘ（α，β）

を考える．

　具体的には，

［１］ｒ＝０のときＡは空集合→Ｐ0＝１

［２］ｒ＝１のときＡはｎ通りあるから，１×（ｎ−１）個の項の積のｎ個の項を加えた和として表される．

　　Ｐ1＝ｘ（１，２）ｘ（１，３）・・・ｘ（１，ｎ）＋ｘ（２，１）ｘ（２，３）・・・ｘ（２，ｎ）＋ｘ（ｎ，１）ｘ（ｎ，２）・・・ｘ（ｎ，ｎ−１）

［２］ｒ＝２のときＡはnＣ2通りあるから，２×（ｎ−２）個の項の積のnＣ2個の項を加えた和として表される．

　また，Ｐn-r＝Ｐrより

　　Ｐn＝１，Ｐn-1＝Ｐ1

が成り立つ．

　ｎ次方程式Ｐ（ｚ）＝ΣＰrｚ^r＝０のすべての解は｜ｚ｜＝１になるというのがリー・ヤンの定理で，この定理でｚ＝ｅｘｐ（−ｓ）とおけば，｜ｚ｜＝１はＲｅ（ｓ）＝０と同値となって，リーマン予想と同じ形式の定理になることがわかる．

　リー・ヤンの定理の証明は，

　　［参］黒川信重，小山信也「リーマン予想の数理物理」サイエンス社

［補］分配関数はハミルトニアンの固有値Ｅnを用いて，

　　Ｚ（ｓ）＝Σｅｘｐ（−ｓＥn）

一方，リ−マン関数は

　　ζ（ｓ）＝Σｎ^（−ｓ）

と表されるから，Ｅn＝ｌｏｇｎのときに両者は等しくなる．

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【２】実例

［１］ｎ＝１のとき，Ｐ0＝Ｐ1＝１より

　　Ｐ（ｚ）＝１＋ｚ＝０

　　　ｚ＝−１→｜ｚ｜＝１を満たす

［２］ｎ＝２のとき，Ｐ0＝Ｐ2＝１

　　Ｐ1＝ｘ（１，２）＋ｘ（２，１）

　　ｘ（１，２）＝ｘ（２，１）＝ｘとおくと，Ｐ1＝２ｘ

　　Ｐ（ｚ）＝１＋２ｘｚ＋ｚ^2＝０

　　ｚ＝−ｘ±（ｘ^2−１）^1/2

　　｜ｘ｜≦１より，ｚ＝−ｘ±ｉ（１−ｘ^2）^1/2

　　｜ｚ｜^2＝ｘ^2＋（１−ｘ^2）＝１→｜ｚ｜＝１を満たす

［３］ｎ＝３のとき，Ｐ0＝Ｐ3＝１

　　Ｐ1＝ｘ（１，２）ｘ（１，３）＋ｘ（２，１）ｘ（２，３）＋ｘ（３，１）ｘ（３，２）

　　Ｐ2＝Ｐ1＝ｘとおくと，Ｐ1＝２ｘ

　　Ｐ（ｚ）＝１＋ｘｚ＋ｘｚ^2＋ｚ^3＝（１＋ｚ）（１−（１−ｘ）ｚ＋ｚ^2）＝０

　　ｚ＝−１→｜ｚ｜＝１を満たす

　　ｚ＝｛１−ｘ±（（１−ｘ）^2−４）^1/2｝／２

　　｜ｘ｜≦１より，ｚ＝｛１−ｘ±ｉ（４−（１−ｘ）^2）^1/2｝／２

　　｜ｚ｜^2＝｛（１−ｘ）^2＋４−（１−ｘ）^2｝／４＝１→｜ｚ｜＝１を満たす

［４］ｎ＝４のとき，Ｐ0＝Ｐ4＝１

　　Ｐ1＝ｘ（１，２）ｘ（１，３）ｘ（１，４）＋ｘ（２，１）ｘ（２，３）ｘ（２，４）＋ｘ（３，１）ｘ（３，２）ｘ（３，４）＋ｘ（４，１）ｘ（４，２）ｘ（４，３）＝Ｐ3＝ｘ

　　Ｐ2＝ｘ（１，３）ｘ（２，３）ｘ（１，４）ｘ（２，４）＋ｘ（１，２）ｘ（３，２）ｘ（１，４）ｘ（３，４）＋ｘ（１，２）ｘ（４，２）ｘ（１，３）ｘ（４，３）＋ｘ（２，１）ｘ（３，１）ｘ（２，４）ｘ（３，４）＋ｘ（２，１）ｘ（４，１）ｘ（２，３）ｘ（４，３）＋ｘ（３，１）ｘ（４，１）ｘ（３，２）ｘ（４，２）＝ｙとおく．

　　Ｐ（ｚ）＝１＋ｘｚ＋ｙｚ^2＋ｘｚ^3＋ｚ^4＝０

　ｚ^2で割り，Ｚ＝ｚ＋１／ｚとすると

　　Ｚ^2＋ｘＺ＋ｙ−２＝０

　　Ｚ＝｛−ｘ±＋（ｘ^2−４（ｙ−２））^1/2｝／２

　さらに，ｚはｚ^2−Ｚｚ＋１＝０の２根なので，

　　ｚ＝｛Ｚ±（Ｚ^2−４）^1/2｝／２

　式はかなり複雑になるが，たとえばｘ＝４，ｙ＝６のとき，Ｚ＝−２，ｚ＝−１→｜ｚ｜＝１を満たす

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【３】実例（続き）

　以下では，一般のｘ（α，β）を扱うのでなく，ｎ＝４でｘ（α，β）＝１／０の場合を扱う．α≠β，ｘ（β，α）＝ｘ（α，β）より，４次対称行列Ｘ＝｛ｘ（α，β）｝を

　　［＊，１，０，１］

　　［１，＊，１，０］

　　［０ １，＊，１］

　　［１，０，１，＊］

などと表現することにする．

　　［＊，１，１，１］

　　［１，＊，１，１］

　　［１，１，＊，１］

　　［１，１，１，＊］

のとき，ｘ＝４，ｙ＝６→Ｚ＝−２，ｚ＝−１→｜ｚ｜＝１を満たす

　　［＊，０，０，０］

　　［０，＊，０，０］

　　［０，０，＊，０］

　　［０，０，０，＊］

のとき，ｘ＝０，ｙ＝０→Ｚ＝０，ｚ＝±１→｜ｚ｜＝１を満たす

　　［＊，１，１，１］

　　［１，＊，０，０］

　　［１，０，＊，０］

　　［１，０，０，＊］

のとき，ｘ＝１，ｙ＝０→Ｚ＝１，−２，ｚ＝（−１±√３ｉ）／２，−１→｜ｚ｜＝１を満たす

　　［＊，１，１，１］

　　［１，＊，１，１］

　　［１，１，＊，０］

　　［１，１，０，＊］

のとき，ｘ＝０，ｙ＝１→Ｚ＝±１，ｚ＝（±１±√３ｉ）／２→｜ｚ｜＝１を満たす

　　［＊，１，０，０］

　　［１，＊，１，０］

　　［０，１，＊，１］

　　［０，０，１，＊］

のとき，ｘ＝１，ｙ＝１→Ｚ＝０，−２，ｚ＝±ｉ，−１→｜ｚ｜＝１を満たす

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