ｎ次の行列式（determinant）はｎ個の項の積のｎ！個の項に適当な符号をつけた和として表される．符号をつけずに全部＋にして加えた式はpermanentと呼ばれる．訳語はないが，強いて訳せば永久式である．

　２つの行（または列）が比例するとき，行列式の値は０となるから，すべての成分ａij＝１／ｎの行列Ｊnの行列式は０であるが，永久式の値はｎ！／ｎ^nである．

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【１】ファン・デル・ヴェルデン予想

　ｎ次の行列で成分ａij≧０，行和＝１，列和＝１のとき，永久式の値≧ｎ！／ｎ^nである．等号はＪnのときのみ成立する．

　この予想は２人のロシア人Egorycev（１９８０年），Falikman（１９８１年）により独立にまたたく別な方法で証明された．

　ところで，スターリングの公式の図形的近似式において，

　　ｎ！は直角三角錐

　　ｎ^nは立方体

と関係している部分である．すなわち，ｎ^n／ｎ！は１辺の長さｎの立方体を切断した直角三角錐の体積になる．

　図形的証明に対して，スターリングの近似の組み合わせ論的証明も可能かもしれない．ｎ^nは｛１，２，３，・・・ｎ｝から｛１，２，３，・・・ｎ｝へのinto写像，ｎ！は｛１，２，３，・・・ｎ｝から｛１，２，３，・・・ｎ｝へのonto写像であるからだ．

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【２】ビーベルバッハ予想

　関数論の未解決問題にBieberbach（ビーベルバッハ）予想（１９１６年）

『単位円盤の内部(|z|<1)で，正則単葉な複素関数 f が級数

f(z) = z + a2z^2 + a3z^3 + ... + anz^n + ...

で与えられている．このとき，

　　|an| ≦ｎ

等号は f(z) = z/(1-z)^2 = 1+ 2z^2 + 3z^3 + ... + nz^n + ...で成立する．』

というのがあったのですが，１９８４年に解決されました．現在，この予想はド・ブランジェの定理と呼ばれています．

　後日談がある．2004年6月に米パデュー大学の数学者ルイス・デ・ブランジェス・デ・ボルシア教授がリーマン予想を証明したと発表した．de Brangesはビーベルバッハ予測を証明した人物として非常に有名だ．同氏はそれ以来約20年間，研究のほとんどをリーマン予想の証明に費やしてきたのである．

　しかし，彼がリーマン予想の証明をするのはそのときが初めてではなかった．１９８５年に「証明」を発表したが間違っていたのである．１９８９年には二度目の証明の成功を宣言した．しかし，二度の証明の成功を宣言し，二度とも間違っていたとあっては，間違いを繰り返すたびに不信感を募らせるのは当然であろう．誰も「狼少年」の三度目の証明をまじめに受け取ってはいなかった．そのときの証明が三度目の正直であって欲しいのであるが，リーマン予想の証明については彼自身何度目かの「証明」ということで，数学界の評価はどうも「黙殺」に近いものがあったようである．

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