ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

の整数解は

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（λｍ^2−２λｍｎ−ｎ^2，−λｍ^2−２ｍｎ＋ｎ^2，ｍ^2＋λｎ^2）

となる．

　ここで，ａ＞０，ｂ＞０となるための条件は，楕円

　　Ｃ：　ｘ^2＋λｙ^2＝λ＋１

　　ｘ切片（（λ＋１）^1/2，０）

　　ｙ切片（０，（１＋１／λ）^1/2

を考えると，

　　１／（１−（λ＋１）^1/2）＜μ＜１−（１＋１／λ）^1/2

　　−（１＋（λ＋１）^1/2）／λ＜μ＜１−（１＋１／λ）^1/2

より，

　−ｎ（１＋（λ＋１）^1/2）／λ＜ｍ＜ｎ（１−（１＋１／λ）^1/2）＜０

［補］点（１，１）を通る接線の傾きは

　　２ｘ＋２λｙｙ’＝０，ｙ’＝−ｘ／λｙ＝−１／λ

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【１】三角形になるための条件

　不定方程式

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

において，λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝１１，ｃ＝９がひとつの解であるが，これでは三角形にならない！　二辺の和は他の一辺よりも長いかどうかを確かめる必要がある．

　　ａ＋ｂ＝−２（λ＋１）ｍｎ＋（λ−１）ｎ^2＞ｍ^2＋λｎ^2＝ｃ

より，

　　ｍ^2＋２（λ＋１）ｍｎ＋ｎ^2＜０

　　ｎ（−（λ＋１）−｛（λ＋１）^2−４｝^1/2）＜ｍ＜ｎ（−（λ＋１）＋｛（λ＋１）^2−４｝^1/2

　　ｂ＋ｃ＝（１−λ）ｍ^2−２ｍｎ＋（１＋λ）ｎ^2＞λｍ^2−２λｍｎ−ｎ^2＝ａ

より，

　　（２λ−１）ｍ^2−２（λ−１）ｍｎ−（２＋λ）ｎ^2＜０

　　ｎ（（λ−１−｛（λ−１）^2＋（２λ＋１）（２＋λ）｝^1/2）／（２λ−１）＜ｍ＜ｎ（（λ−１＋｛（λ−１）^2＋（２λ＋１）（２＋λ）｝^1/2／（２λ−１）

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（λｍ^2−２λｍｎ−ｎ^2，−λｍ^2−２ｍｎ＋ｎ^2，ｍ^2＋λｎ^2）

　　ｃ＋ａ＝（１＋λ）ｍ^2−２λｍｎ＋（λ−１）ｎ^2＜−λｍ^2−２ｍｎ＋ｎ^2＝ｂ

より，

　　−（２λ−１）ｍ^2＋２（λ−１）ｍｎ＋（２−λ）ｎ^2＜０

　　ｎ（−（−λ＋１−｛（λ−１）^2＋（２λ−１）（２−λ）｝^1/2）／（２λ−１）＜ｍ＜ｎ（−（−λ＋１＋｛（λ−１）^2＋（２λ−１）（２−λ）｝^1/2）／（２λ−１）

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【２】鋭角三角形になるための条件

　三角形が鋭角三角形でなければならない条件は，

　　ａ^2＋ｂ^2＞ｃ^2，ｂ^2＋ｃ^2＞ａ^2，ｃ^2＋ａ^2＞ｂ^2

となるｍの範囲の共通部分を求めることになる．

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