（その５１）ではＰnからでるｎ本の辺の頂点座標，（その５２）ではＱからでるｎ本の辺の頂点座標を求めた．Ｐn，Ｑを含めると２ｎ＋２個の頂点座標がわかっている．今回のコラムではＰn，Ｑを通り，それらを２等分する超平面を求めてみたい．

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　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ＝（－ａ1，－ａ2，・・・，－ａn）

　　ｑ＝（ｘ1－ａ1，ｘ2－ａ2，ｘ3－ａ3，・・・，ｘn－ａn）

　　ｘ＝（Ｘ1，Ｘ2，・・・，Ｘn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ－ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝－（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ0＝－（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／∥ａ∥，∥ａ∥＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　この平面ａ・ｘ－ｃ0＝０に点Ｐnから下ろした垂線の足は

　　Ｘ1＝－ａ1ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝－ａ1ｃ0／∥ａ∥^2

　　Ｘ2＝－ａ2ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝－ａ2ｃ0／∥ａ∥^2，・・・

　　Ｘn＝－ａnｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝－ａnｃ0／∥ａ∥^2

　あるいは，直線

　　（Ｘ1＋ａ1）／ａ1＝（Ｘ2＋ａ2）／ａ2＝・・・＝（Ｘn＋ａn）／ａn＝ｋとの交点を直接求めてみると

　　Ｘ1＝（ｋ－１）ａ1，Ｘ2＝（ｋ－１）ａ2，・・・

　　－ａ1Ｘ1－ａ2Ｘ2－・・・－ｃ0＝０

に代入すると

　　（ｋ－１）｛ａ1^2＋ａ2^2＋・・・｝＝－ｃ0

　　ｋ－１＝－ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

となって

　　Ｘ1＝－ａ1ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝－ａ1ｃ0／∥ａ∥^2

　　Ｘ2＝－ａ2ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝－ａ2ｃ0／∥ａ∥^2，・・・

　　Ｘn＝－ａnｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝－ａnｃ0／∥ａ∥^2

と一致する．

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　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，・・・，０，－ａn）

　　ｃn-1＝－ａnｘn＋ａn^2＝－ａn^2ｙn＋ａn^2

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／∥ａ∥，∥ａ∥＝（ａn^2）^1/2

　この平面ａ・ｘ－ｃn-1＝０に点Ｐnから下ろした垂線の足は

　　Ｘ1＝０，Ｘ2＝０，・・・，Ｘn＝－ａnｃn-1／（ａn^2）＝－ａn

　あるいは，直線

　　（Ｘn＋ａn）／ａn＝ｋとの交点を直接求めてみると

　　Ｘ1＝０，Ｘ2＝０，・・・，Ｘn＝（ｋ－１）ａn

　　－ａ1Ｘ1－ａ2Ｘ2－・・・－ｃn-1＝０

に代入すると

　　（ｋ－１）｛ａn^2｝＝－ｃn-1

　　ｋ－１＝－ｃn-1／（ａn^2）

となって

　　Ｘ1＝０，Ｘ2＝０，・・・，Ｘn＝－ａnｃn-1／（ａn^2）＝－ａn

と一致する．

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　したがって，当該の超平面と直交するベクトルは

　　Ｘ1＝－ａ1ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝ｂ1

　　Ｘ2＝－ａ2ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝ｂ2，・・・

　　Ｘn＝－ａnｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＋ａn＝ｂn

で与えられる．

　ｂ・ｘ＝ｃがＰnを通ることから，超平面の方程式は

　　ｂ・ｘ＝０

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