（その５１）ではＰnからでるｎ本の辺の頂点座標，（その５２）ではＱからでるｎ本の辺の頂点座標を求めた．Ｐn，Ｑを含めると２ｎ＋２個の頂点座標がわかっている．今回のコラムではＰn，Ｑを通り，それらを２等分する超平面を求めてみたい．

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　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）

　　ｘ＝（Ｘ1，Ｘ2，・・・，Ｘn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　この平面ａ・ｘ−ｃ0＝０に点Ｐnから下ろした垂線の足は

　　Ｘ1＝−ａ1ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ1ｃ0／‖ａ‖^2

　　Ｘ2＝−ａ2ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ2ｃ0／‖ａ‖^2，・・・

　　Ｘn＝−ａnｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａnｃ0／‖ａ‖^2

　あるいは，直線

　　（Ｘ1＋ａ1）／ａ1＝（Ｘ2＋ａ2）／ａ2＝・・・＝（Ｘn＋ａn）／ａn＝ｋとの交点を直接求めてみると

　　Ｘ1＝（ｋ−１）ａ1，Ｘ2＝（ｋ−１）ａ2，・・・

　　−ａ1Ｘ1−ａ2Ｘ2−・・・−ｃ0＝０

に代入すると

　　（ｋ−１）｛ａ1^2＋ａ2^2＋・・・｝＝−ｃ0

　　ｋ−１＝−ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

となって

　　Ｘ1＝−ａ1ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ1ｃ0／‖ａ‖^2

　　Ｘ2＝−ａ2ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａ2ｃ0／‖ａ‖^2，・・・

　　Ｘn＝−ａnｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝−ａnｃ0／‖ａ‖^2

と一致する．

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　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，・・・，０，−ａn）

　　ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａn^2）^1/2

　この平面ａ・ｘ−ｃn-1＝０に点Ｐnから下ろした垂線の足は

　　Ｘ1＝０，Ｘ2＝０，・・・，Ｘn＝−ａnｃn-1／（ａn^2）＝−ａn

　あるいは，直線

　　（Ｘn＋ａn）／ａn＝ｋとの交点を直接求めてみると

　　Ｘ1＝０，Ｘ2＝０，・・・，Ｘn＝（ｋ−１）ａn

　　−ａ1Ｘ1−ａ2Ｘ2−・・・−ｃn-1＝０

に代入すると

　　（ｋ−１）｛ａn^2｝＝−ｃn-1

　　ｋ−１＝−ｃn-1／（ａn^2）

となって

　　Ｘ1＝０，Ｘ2＝０，・・・，Ｘn＝−ａnｃn-1／（ａn^2）＝−ａn

と一致する．

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　したがって，当該の超平面と直交するベクトルは

　　Ｘ1＝−ａ1ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝ｂ1

　　Ｘ2＝−ａ2ｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＝ｂ2，・・・

　　Ｘn＝−ａnｃ0／（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）＋ａn＝ｂn

で与えられる．

　ｂ・ｘ＝ｃがＰnを通ることから，超平面の方程式は

　　ｂ・ｘ＝０

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