置換多面体＝空間充填２（２^n−１）胞体の元素の形を求めてみたい．２^n＋２ｎ胞体の場合は基本単体の辺と超平面の交点を求めるだけなので簡単だったのだが，置換多面体の場合は超平面の数がｎ−１面となるのでかなり難しい．今回はそのための準備に取り組んでおきたい．
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【１】置換多面体の切頂・切稜点
Ｐ0（０，・・・，０）
Ｐ1（ａ1，０，・・・，０）
Ｐ2（ａ1，ａ2，０，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・
Ｐn（ａ1，・・・，ａn）
ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））
ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）
とおく．
１／ａj-1^2＋１／ａj^2＝２（ｊ−１）ｊ＋２ｊ（ｊ＋１）＝（２ｊ）^2
より
（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2
は
（ｙj-1−ｙj）／２ｊ＝（ｙj−ｙj+1）／２（ｊ＋１）
となる．
点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）から，
ｘ1＝ａ1平面
ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面
・・・・・・・・・・・・・・・
ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面
までの距離が等しいことより，
（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）／２＝（ｙ2−ｙ3）／３＝・・・＝（ｙn-2−ｙn-1）／（ｎ−１）＝（ｙn-1−ｙn）／ｎ
２（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）
３（ｙ1−ｙ2）＝２（ｙ2−ｙ3）
４（ｙ2−ｙ3）＝３（ｙ3−ｙ4）
・・・・・・・・・・・・・・・
（ｎ−１）（ｙn-3−ｙn-2）＝（ｎ−２）（ｙn-2−ｙn-1）
ｎ（ｙn-2−ｙn-1）＝（ｎ−１）（ｙn-1−ｙn）
第ｘ行まで足しあわせて整理すると
２（ｙ0−ｙn-1）＝（ｎ−１）（ｙn-1−ｙn）→ｙn-1＝（２ｙ0＋（ｎ−１）ｙn）／（ｎ＋１）
２（ｙ0−ｙn-2）＝（ｎ−２）（ｙn-2−ｙn-1）→ｙn-2＝（２ｙ0＋（ｎ−２）ｙn-1）／ｎ
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２（ｙ0−ｙ2）＝２（ｙ2−ｙ3）→ｙ2＝（２ｙ0＋２ｙ3）／４
２（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）→ｙ1＝（２ｙ0＋ｙ2）／３
具体的には
ｙn-1＝２／（ｎ＋１）
ｙn-2＝（２＋２（ｎ−２）／（ｎ＋１））／ｎ＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）
ｙn-3＝２（１＋（ｎ−３）（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１））／（ｎ−１）＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）＝６（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）
となるが，
ｙj＝（２＋ｊｙj+1）／（ｊ＋２）
のままにしておく．ともあれ，これで置換多面体の体積計算の基点だけは求まったことになる．
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【２】中心から各面までの距離
Ｐn（ａ1，・・・，ａn）
ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））
と切頂切稜面の距離を求める．
２次元正単体の場合，
Ｐ2（１／２，√（１／１２））＝（ａ1，ａ2）
Ｐ1（１／２，０）
Ｐ0（０，０）
３次元正単体の場合，
Ｐ3（１／２，√（１／１２），√（１／２４））＝（ａ1，ａ2，ａ3）
Ｐ2（１／２，√（１／１２），０）
Ｐ1（１／２，０，０）
Ｐ0（０，０，０）
切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点
Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）
を通る．
ＰnＰ0＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）
ＰnＰ1＝（０，−ａ2，−ａ3，・・・，−ａn）
ＰnＰn-1＝（０，・・・，０，−ａn）
ファセットを定めている不等式は，
ａ・ｘ＝ｃ
で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は
｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖
とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので
ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）
ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，−ａ2，・・・，−ａn）
ｃ1＝−（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ1＝−（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，・・・，０，−ａn）
ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａn^2）^1/2
‖ａk‖^2＝１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）＋・・・＋１／２ｎ（ｎ＋１）＝１／２（１／（ｋ＋１）−１／（ｎ＋１））＝（ｎ−ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）
辺の長さを１に規格化する．
Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜
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【３】垂線の足
体積計算には垂線の足までの距離だけでなく，垂線の足の座標も必要になります．Ｐnからでるｎ本の辺とＱからでるｎ本の垂線の足を使って体積計算する方法を考えてみましょう．
直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に点Ｐ（ｘ0，ｙ0）から下ろした垂線の足をＱ（Ｘ，Ｙ）とすると，
ａＸ＋ｂＹ＋ｃ＝０，（Ｙ−ｙ0）／（Ｘ−ｘ0）＝ｂ／ａ
より，
ｂ（Ｘ−ｘ0）−ａ（Ｙ−ｙ0）＝０・・・（１）
また，
ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ＝ａｘ0＋ｂｙ0−ａＸ−ｂＹ＝−ａ（Ｘ−ｘ0）−ｂ（Ｙ−ｙ0）
より
ａ（Ｘ−ｘ0）＋ｂ（Ｙ−ｙ0）＝−（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）・・・（２）
（１），（２）より，垂線の足は
Ｘ−ｘ0＝ａ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）
Ｙ−ｙ0＝ｂ（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）／（ａ^2＋ｂ^2）
また，点Ｐと直線の距離は（１）（２）の辺々２乗して足すと
（ａ^2＋ｂ^2）｛（Ｘ−ｘ0）^2＋（Ｙ−ｙ0）^2｝＝（ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ）^2
より，
（Ｘ−ｘ0）^2＋（Ｙ−ｙ0）^2＝｜ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ｜／（ａ^2＋ｂ^2）^1/2 （ヘッセの公式）
で与えられます（高次元の場合は推して知るべし）．
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