三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．
［Ｑ１］縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか？ あるとすればどのような場合か？
一松信先生はこの問題を「重心座標」を使って計算された．
［１］主要な点の重心座標はＤ（０，λ，１），Ｅ（１，０，λ），Ｆ（λ，１，０）
直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの方程式はそれぞれｙ／λ＝ｚ，ｚ／λ＝ｘ，ｘ／λ＝ｙ．これらの交点としてＰ（λ，１，λ^2），Ｑ（λ^2，λ，１），Ｒ（１，λ^2，λ） （いずれも重心座標の比のみ）
ΔＰＱＲの面積／ΔＡＢＣの面積＝［λ，１，λ^2］／（λ^2＋λ＋１）^3
［λ^2，λ，１］
［１，λ^2，λ］
＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）
λ＝２なら１／７，λ＝３なら４／１３
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［２］ΔＰＱＲの辺の長さは重心座標の長さの公式から次のようになる．
ＰＱ^2＝１／（λ^2＋λ＋１）^2×［λ−λ^2，１−λ，λ^2−１］のノルム
＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）×［−λ，１，λ＋１］のノルム
＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）×［ａ^2（λ＋１）＋ｂ^2λ（λ＋１）−ｃ^2λ］
同様に
ＱＲ^2＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）×［−ａ^2λ＋ｂ^2（λ＋１）＋ｃ^2λ（λ＋１）］
ＲＰ^2＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）×［ａ^2λ（λ＋１）−ｂ^2λ＋ｃ^2（λ＋１）］
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［３］ΔＰＱＲがΔＡＢＣと相似とすると，面積の関係から長さの相似比は （λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）
である．したがって，ＰＱ^2，ＱＲ^2，ＲＰ^2は
ａ^2，ｂ^2，ｃ^2／（λ^2＋λ＋１）
のいずれかに等しくなる．すなわち，共通因子を除いて，分子の［・・・］の内の量が
（ａ^2，ｂ^2，ｃ^2）（λ^2＋λ＋１）
のいずれかに等しくなる．
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［４］その形で方程式を作るが，同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると
ａ^2（λ＋１）＋ｂ^2λ（λ＋１）−ｃ^2λ＝ａ^2（λ^2＋λ＋１）
−ａ^2λ＋ｂ^2（λ＋１）＋ｃ^2λ（λ＋１）＝ｂ^2（λ^2＋λ＋１）
ａ^2λ（λ＋１）−ｂ^2λ＋ｃ^2（λ＋１）＝ｃ^2（λ^2＋λ＋１）
→−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０
（λ＋１）ａ^2−ｂ^2−λｃ^2＝０
−λａ^2＋（λ＋１）ｂ^2−ｃ^2＝０
３式を加えると，両辺とも同じ（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（λ^2＋λ＋１）になるので，この３式は独立ではなく，ａ＝ｂ＝ｃを得る．
右辺を巡回置換してもいずれも同様に計算してａ＝ｂ＝ｃに達する．すなわち自明な正三角形の場合以外にはあり得ない．
裏返しに相似なとき，上述のＰＱ^2，ＱＲ^2，ＲＰ^2の式はそのままにして，第２式，第３式の右辺のｂ^2，ｃ^2を入れ換える．
第１式→−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０
第２式は右辺がｃ^2（λ^2＋λ＋１）であるから，整理すると
ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０
となるが，これは第１式と同値である．
第３式は右辺がｂ^2（λ^2＋λ＋１）であるから，整理すると
−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０
となって，これも第１式と同値である．
すなわち，この場合には相似条件式が同一の条件
ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０
になる．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．そしてそれが必要十分条件であり，実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる．
例：λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝√３（正三角形の半分）
同様にａ，ｂ，ｃを巡回置換すれば
−（λ＋１）ａ^2＋ｂ^2＋λｃ^2＝０
λａ^2−（λ＋１）ｂ^2＋λｃ^2＝０
という場合が生ずるが，これは単にａ，ｂ，ｃの順序を変えた（三角形を回した）ものにすぎない．
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［Ｑ２］三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次分けた点Ｄ，Ｅ，Ｆが作る三角形ＤＥＦがもとの三角形と相似になることがあるか？ あるとすればどのような場合か？
小生も一松先生の計算を参考にしながら計算を試みたのであるが，どうしてもうまくいかない．
［１］主要な点の重心座標はＤ（０，λ，１），Ｅ（１，０，λ），Ｆ（λ，１，０）
ΔＤＥＦ／ΔＡＢＣの面積＝［０，λ，１］／（λ＋１）^3
［１，０，λ］
［λ，１，０］
＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3＝（λ^2−λ＋１）／（λ＋１）^2
［２］ΔＤＥＦの辺の長さは重心座標の長さの公式から次のようになる．
ＤＥ^2＝（λ^2−λ＋１）／（λ＋１）^2×［−１，λ，１−λ］のノルム
＝（λ^2−λ＋１）／（λ＋１）^2×［ａ^2λ（１−λ）＋ｂ^2（１−λ）−ｃ^2λ］
同様に
ＥＦ^2＝（λ^2−λ＋１）／（λ＋１）^2×［−ａ^2λ＋ｂ^2λ（１−λ）＋ｃ^2（１−λ）
ＦＤ^2＝（λ^2−λ＋１）／（λ＋１）^2×［ａ^2（１−λ）−ｂ^2λ＋ｃ^2λ（１−λ）］
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［３］ΔＤＥＦがΔＡＢＣと相似とすると，面積の関係から長さの相似比は
（λ^2−λ＋１）^1/2／（λ＋１）
である．したがって，ＤＥ^2，ＥＦ^2，ＤＦＥ^2は
ａ^2，ｂ^2，ｃ^2／（λ＋１）^2
のいずれかに等しくなる．すなわち，共通因子を除いて，分子の［・・・］の内の量が
（ａ^2，ｂ^2，ｃ^2）（λ＋１）^2
のいずれかに等しくなる．
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［４］その形で方程式を作るが，同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると
ａ^2λ（１−λ）＋ｂ^2（１−λ）−ｃ^2λ＝ｂ^2（λ＋１）^2
−ａ^2λ＋ｂ^2λ（１−λ）＋ｃ^2（１−λ）＝ｃ^2（λ＋１）^2
ａ^2（１−λ）−ｂ^2λ＋ｃ^2λ（１−λ）＝ａ^2（λ＋１）^2
３式を加えると，
左辺（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（１−λ−λ^2）
右辺（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（λ＋１）^2
と同じにならないので，ａ＝ｂ＝ｃを得ることができない．ここで挫折．どこが違っているのだろうか？
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