三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角計ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにすると，縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

となる．

　次に，与えられた△ＡＢＣの各辺を伸長した位置に点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとって作った△Ａ’Ｂ’Ｃ’を「拡大三角形」と呼ぶことにすると，もとの△ＡＢＣと相似になるための条件は，内分を外分に直すために

　　１→λ，λ→−（λ−１），λ＋１→１

に置き換えて

　　λａ^2−（λ−１）ｂ^2−ｃ^2＝０

　　ｃ^2＋（λ−１）ｂ^2−λａ^2＝０

すなわち，縮小三角形において，λ→λ−１に置き換えたものになると思われるが，考察がラフすぎる気もする．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］一般に与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２のとき１／７．λ＝μ＝ν＝−２のとき３．

［２］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２のとき１／３．λ＝μ＝ν＝−２のとき７．

　すなわち，内分・外分に関係なく，

［１］点を対頂点と結ぶか（縮小三角形）

［２］点同士を結ぶか（拡大三角形）

という点に本質的な違いがあるのである．

　したがって，内分を外分に直すために

　　１→λ，λ→−（λ−１），λ＋１→１

に置き換えて

　　λａ^2−（λ−１）ｂ^2−ｃ^2＝０

　　ｃ^2＋（λ−１）ｂ^2−λａ^2＝０

とした操作は正しくないものと考えられる．拡大三角形［２］を作るために，縮小三角形［１］の相似条件式を用いているからである．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　もし，上述の操作が正しいとすると，以下のような和算風の問題を作ることができるのだが・・・

［Ｑ］３辺の長さａ，ｂ，ｃがすべて整数の△ＡＢＣが与えられている．△ＡＢＣの各辺を３倍伸長した位置に点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとって作った△Ａ’Ｂ’Ｃ’がもとの△ＡＢＣと裏返しに相似になっている．ＡＡ’＋ＢＢ’＋ＣＣ’＝５８寸のとき，辺の長さａ，ｂ，ｃを求めよ．

［誤］λ＝３

　　　２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝５８

　　　ａ^2＋２ｂ^2−３ｃ^2＝０

　　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（５，１３，１１）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝