（その１８）以降，

［Ｑ］与えられた△ＡＢＣの各辺を伸長した位置に点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとって作った△Ａ’Ｂ’Ｃ’がもとの△ＡＢＣと同じ向きに相似相似になっている．

　　Ａ’Ｂ’＝３寸，Ｂ’Ｃ’＝６寸，Ａ’Ｃ’＝４寸，ＡＡ’＋ＢＢ’＋ＣＣ’＝５寸のとき，ＣＣ’の長さを求めよ．

という問題を扱ってきたが，もとの三角形と裏返しに相似になるような問題を作ってみることにしよう．

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　　ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ａｂｃｏｓＡ

　　ｂ^2＝ｃ^2＋ａ^2−２ｃａｃｏｓＢ

　　ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓＣ

　相似比をｋとすると

　　（ｋｂ）^2＝｛（λ−１）ａ｝^2＋（μｂ）^2＋２（λ−１）μａｂｃｏｓＣ

　　（ｋｃ）^2＝｜（μ−１）ｂ｝^2＋（νｃ）^2＋２（μ−１）νｂｃｃｏｓＡ

　　（ｋａ）^2＝｛（ν−１）ｃ｝^2＋（λａ）^2＋２（ν−１）λｃａｃｏｓＢ

であったが，裏返しに相似なとき，右辺の式はそのままにして，第１式，第２式の左辺のｂ，ｃを入れ換える．

　　（ｋｃ）^2＝｛（λ−１）ａ｝^2＋（μｂ）^2＋２（λ−１）μａｂｃｏｓＣ

　　（ｋｂ）^2＝｛（μ−１）ｂ｝^2＋（νｃ）^2＋２（μ−１）νｂｃｃｏｓＡ

　　（ｋａ）^2＝｛（ν−１）ｃ｝^2＋（λａ）^2＋２（ν−１）λｃａｃｏｓＢ

　これ以降，ｃｏｓＡ，ｃｏｓＢ，ｃｏｓＣを消去すると

　　（ｋｃ）^2＝｛（λ−１）ａ｝^2＋（μｂ）^2＋（λ−１）μ（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）

　　（ｋｂ）^2＝｜（μ−１）ｂ｝^2＋（νｃ）^2＋（μ−１）ν（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）

　　（ｋａ）^2＝｛（ν−１）ｃ｝^2＋（λａ）^2＋（ν−１）λ（ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）

　　ｋ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＝ａ^2｛（λ−１）^2＋λ^2＋（λ−１）μ＋（ν−１）λ−（μ−１）ν｝＋ｂ^2｛（μ−１）^2＋μ^2＋（λ−１）μ＋（μ−１）ν−（ν−１）λ｝＋ｃ^2｛（ν−１）^2＋ν^2＋（μ−１）ν＋（ν−１）λ−（λ−１）μ｝

　これより，

　　ｋ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＝ａ^2｛（λ−１）^2＋λ^2−２（μ−１）ν＋ｋ^2−１｝＋ｂ^2｛（μ−１）^2＋μ^2−２（ν−１）λ＋ｋ^2−１｝＋ｃ^2｛（ν−１）^2＋ν^2−２（λ−１）μ＋ｋ^2−１｝

　　ａ^2｛λ^2−λ−（μ−１）ν｝＋ｂ^2｛μ^2−μ−（ν−１）λ｝＋ｃ^2｛ν^2−ν−（λ−１）μ｝＝０

　また，与えられた三角形の各辺を倍率λ，μ，νで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　μ（λ−１）＋ν（μ−１）＋λ（ν−１）＋１

倍になるから，

　　ｋ^2＝μ（λ−１）＋ν（μ−１）＋λ（ν−１）＋１

まではまったく同じ式であるが，

　　∠ＣＡＣ’＝∠ＡＢＡ’＝∠ＢＣＢ’＝∠Ｄ

が成り立たない．

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　自由度を下げるためにはλ＝μ＝νの場合を扱うしかないと思われるが，そうであれば縮小三角形の問題と本質的に同値の問題となる．λ＝２の場合を考えよう．

　三角形ＡＢＣの各辺を１：２の比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲが三角形ＡＢＣと裏返しに相似になっている．

（Ｑ１）直角三角形の例を求めよ．

（Ａ１）縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

である．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．等号を満たすためには

　　ａ≦ｃ≦ｂまたはｂ≦ｃ≦ａ

であることが必要条件になる，

　　　ａ^2＋ｃ^2＝ｂ^2とすると（１＋λ）ａ^2−ｃ^2＝０

　　　λ＝２のとき，ｃ＝√３ａ，ｂ＝２ａ　　　（３辺の比が１：√３：２）

　　　ｂ^2＋ｃ^2＝ａ^2とすると（１＋λ）ｂ^2−λｃ^2＝０

　　　λ＝２のとき，ｃ＝√（３／２）ｂ，ａ＝√（５／２）ｂ　　　（３辺の比が√２：√３：√５）

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（Ｑ２）ａ，ｂ，ｃがすべて整数の例を求めよ．

（Ａ２）不定方程式

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

において，λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝１１，ｃ＝９がひとつの解であるが，これでは三角形にならない！　ａ^2＋２ｂ^2＝３ｃ^2の整数解を代数幾何的（類体論的？）に求めて，二辺の和は他の一辺よりも長いかどうかを確かめる方が近道と思われる．

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（５，１３，１１），（５，２３，１９），（１９，６１，５１），（１９，７１，５９），（２３，３７，３３），（２５，４７，４１），（２９，５９，５１），（４３，９７，８３），（４７，８３，７３），（５３，７３，６７），（２３，１３，１７），（２５，１１，１７），（２９，１１，１９），（４７，２３，３３），（４７，８３，７３），（５３，３７，４３），（９５，５９，７３），（９５，７３，８１）

などが見つかるが，鋭角三角形になる例に限るとλ＝２，ａ，ｂ，ｃ≦１００の場合だけでも，

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（２３，３７，３３），（２５，４７，４１），（４７，８３，７３），（５３，３７，４３），（５３，７３，６７），（７３，４７，５７），（９５，７３，８１）

の７組が抽出される．

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