一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／４　　（４等分）

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７　　　　（７等分）

となる．

　０＜ｋ＜１のときはもとの三角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの三角形より大きくなり，ｋ＝２のときには７倍になるが，与えられた三角形の各辺を逆方向に延ばすと大きな三角形の対辺を１：２に内分する点と交わるのである．

［１］さらに調べてみたところ，一般に与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／７．

［２］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．

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［１］メネラウスの定理

　直線が△ＡＢＣの辺またはその延長と，それぞれＰ，Ｑ，Ｒで交わるとき

　　ＡＰ／ＰＢ・ＢＱ／ＱＣ・ＣＲ／ＲＡ＝１

が成り立つ．逆に，

　　ＡＰ／ＰＢ・ＢＱ／ＱＣ・ＣＲ／ＲＡ＝１

が成り立てば，Ｐ，Ｑ，Ｒは１直線上にある．

［２］チェバの定理

　△ＡＢＣの辺またはその延長上にない点Ｏをとる．頂点Ａ，Ｂ，Ｃと点Ｏを結ぶ直線が△ＡＢＣの辺またはその延長とそれぞれＰ，Ｑ，Ｒで交わるとき

　　ＡＲ／ＲＢ・ＢＰ／ＰＣ・ＣＱ／ＱＡ＝１

が成り立つ．逆に，

　　ＡＲ／ＲＢ・ＢＰ／ＰＣ・ＣＱ／ＱＡ＝１

が成り立てば，ＡＰ，ＢＱ，ＣＲは１点で交わる．

　２つの定理は一見似たような定理ですが，メネラウスの定理は「３点が１直線上にある」ことを，チェバの定理は「３直線が１点で交わる」ことを示しています．そして，・・・

『与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとる場合，３直線が１点で交わるための必要十分条件はλμν＝１（チェバの定理），３点が同一直線上にあるための必要十分条件はλμν＝−１（メネラウスの定理）である．』

　なお，メネラウスとチェバの生存時期も１５００年以上違い，その間何もなされませんでした．不思議さを感じてしまいます．

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