今年は４０篇を超えるコラムをアップロードすることができた．未発表のものまで含めると５０篇にはなるので，他人の目には多産な１年であったかに映ると思う．しかし，ＨＰを運営・維持・管理する当の本人にとっては，常にネタ探しに追いまくられ，一種の強迫観念に駆られた神経症的な１年であった．

　

　ＨＰは維持するには苦労が多い．

(1)ネタを考えなければならないこと

　面白いネタはそうそうころがってはいない．最近ではネタ切れのことも多く，同じネタを角度を変えて何度も使いまわしている．数学関連のＨＰは少なくないように見受けられるし，純粋数学ネタに関しては，ほぼ打ち止めのような気がする．

(2)周囲からの風当たり

　ここが医療機関であり，周囲の風当たりを気にしながら仕事しなければならないこと．いまＨＰの移転を迫られているのもそのためである．

　

　それにもかかわらず維持している理由は，

(3)このＨＰを通じて研究者同士のネットワークが築けること

(4)そのつきあいを通して，いま考えるべきテーマが自分自身にもフィードバックされること

(5)研究費が１円ももらえない身分で，いやしくも科学に貢献しようと思ったら，インターネットを利用せざるを得ないということ

になろう．

　

　優れた学者は論文以外の文章を書くなどということはしないものかもしれないが，私にとってはいろいろなコラムを作品化することで，かえって科学者としてのアイデンティティーを確かめ，自立再生を果たしてきた．このＨＰは自分にとって「アルキメデスの砂」なのだとつくづく思いしらされる今日この頃であるが，「アルキメデスの砂」は科学者としての存在証明であり，なにがなんでも維持していきたいと考えている．

　

　移転後もこれまで以上にイマジネーションとインスピレーションを発揮するつもりなので，変わらぬお付き合いをお願い申し上げる次第である．

　

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【１】純粋数学的なるもの

　

　例年にならって，コラムの内容を分類することから始めたい．小生のコラムは仕事柄，応用数学的なものが多いのだが，純粋数学的なものも少なくはない．

　

　　「ひもの棲む世界」

　　「もうひとつの五角数定理」

　　「リーマン計量（曲がった空間におけるピタゴラスの定理）」

　　「モザイク模様とルート系」

　　「最近接距離分布（ウィグナー分布）」

　　「整数論小話（２次形式の数論）」

　　「ヒルツェブルフの符号数定理とベルヌーイ数」

　　「極大格子群とルート系」

　　「無理数・代数的数・超越数」

　　「微分形式・外積・外微分」

　　「群と月光」

　　「幾何学と数論の相互転化」

　　「エルランゲン・プログラムと変換群」

　　「ｎ次元ユークリッド空間の有限合同変換群？」

　　「楕円積分とガンマ関数」

　　「数にまつわる話」

　　「超幾何関数とゼータ関数」

　　「シンク関数の数学的諸性質」

　

　このリストを見て，リー群やルート系に関するものが多いことに気付かされる．コラム「群と月光」，「ｎ次元ユークリッド空間の有限合同変換群？」では，古典線形群とリー群について記述したが，古典線形群をすべて包括するのが単純リー群である．

　

　実数や複素数，行列は群の例である．たとえば，絶対値１の複素数

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

は積を算法としてリー群（パラメータθを連続的に変化させることによって，無限に多くの要素を含んでいる群）となる．ところが，「群論」となると実に取っつきにくい．リー群はノルウェーの数学者リーにちなんでこの名前がある特別な群で，その定義はいくつかの条件が満たされていなければならないので，通常の群よりもずっと複雑である．

　

　リー群は数学だけでなく，物理や化学においても重要な役割を演ずる．とはいっても，わかったようでいて，いつまでもわからないというのが本音であるが，再度取り上げて概説してみたい．

　

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　２つの図形が同じかどうかをみるために，動かして重なり具合を調べることになるが，この動かすという操作をもっと広く一般に「変換」という．どのような合同変換も，平行移動と原点を保つ合同変換との合成で表される．そして，ある図形が変換に対して形を変えず，うまく重ね合わせることができた場合，「対称」な図形であるという．

　

　幾何における対称性を記述するには，群が使われる．群とは幾何的な変換の集合から代数的な性質を取り出して定義された代数系であり，幾何学に群を積極的に応用することを最初に主張したのがクラインのエルランゲン・プログラム「空間内の距離を変えない変換は群をなす．幾何学とは変換群で不変な図形の性質を研究する分野である．」である．

　

　コラム「エルランゲン・プログラムと変換群」では，合同変換や相似変換について取り上げたが，合同変換や相似変換というのは，いわば，空間の対称性を表すための数学的な構造である．クラインは射影変換群に属する平面の幾何学から，変換群を順次縮小あるいは拡大することによってアフィン幾何学，ユークリッド幾何学，非ユークリッド幾何学を再構成してみせたのである．（affine：純化する）

　

　一方，空間の構造を表すのに，その対称性を示すリー群がよく使われる．リー群やリー環というのは，合同変換，相似変換，アフィン変換といったものを数学的にとらえたもので，背後に潜む対称性を記述するための道具といっても差し支えないであろう．

　

　以下に変換群の例を掲げるが，ｎ×ｎ行列からなるｎ次一般線形群ＧＬ（ｎ）やｎ次直交群Ｏ（ｎ）などはすべて古典線形群，したがって，リー群に含まれる．

　

　２次元の直交変換Ｏ（２）は内積を保つ変換であることから，２次元平面の原点を保つ合同変換のなす群となる．平面上の合同変換には，平行移動，回転およびある直線に関する折り返しという３種類の変換を何回か施したものとなるが，原点を保つのは原点を中心とする回転

［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

か，原点を通る直線ｘ／ｃｏｓθ＝ｙ／ｓｉｎθに関する折り返し（対称変換，鏡映）

［ｃｏｓ２θ，　ｓｉｎ２θ］＝［ｃｏｓ２θ，−ｓｉｎ２θ］［１，　０］

［ｓｉｎ２θ，−ｃｏｓ２θ］　［ｓｉｎ２θ，　ｃｏｓ２θ］［０，−１］

の２種類である．それに対して，３次元の直交変換Ｏ（３）は，回転，鏡映，回転鏡映の３種類がある．

　

　ｎ次直交群Ｏ（ｎ）のなかで行列式が１のものがｎ次特殊直交群ＳＯ（ｎ）である．ＳＯ（２）は

［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

すなわち，平面の原点を中心とする回転のなす群である．ＳＯ（ｎ）はＯ（ｎ）の部分群になっているが，一般に，Ｏ（ｎ）はｎ次元空間の直交変換全体のなす群，ＳＯ（ｎ）は回転運動全体のなす群である．ＧＬ，ＳＬ，Ｏなどは原点を動かさない変換であるが，平面や空間の合同変換群には原点を動かす元もあり，この群は直交群と平行移動を併せた群となっている．

　

　また，直交群，例えば，球の対称性を表す３次直交群Ｏ（３）を複素数体上にエルミート内積を用いて定義したものがユニタリ群Ｕである．複素数は２変数であるから，複素数上２次元のＳＵ（２）は実数上４次元であって，４次元超球面と対応し，ＳＯ（４）の部分群と考えることができる．

　

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　クラインは，平面内での正ｎ角形を，球の赤道に内接する正ｎ角形の各頂点と北極・南極を結んでできる多面体を上下から赤道面に押しつぶしてできる体積が０の正凸面体と考え，この群を正２面体群と命名した．２面体群とは，正ｎ角形を回転してもとの正ｎ角形に重ねる巡回群に対し，折り返しも用いてもとの正ｎ角形に重ねる変換すべてを含む群となる．このように，クラインが群論によって幾何学の統合を図ったことはあまりにも有名である．

　

　クラインに続き，ドイツのキリングとフランスのカルタンのよる単純リー群（詳しくは複素コンパクト型単純リー群，古典線形群はみな含まれる）の分類の成功は幾何学にも大きな影響を与えた．

　

　ルート系の分類は，それ自体大変面白いものなのだそうであるが，既約ルート系の同型類には，ＡからＧまでのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になってる．以下，まったくの受け売りになるが，その物語を伝えたい．

　

　この既約ルート系の分類の基づいて，複素単純リー代数の分類を行ったものがカルタンの分類定理であり，それは『いかなる複素単純リー代数もＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものに限られる．』というもので，Ａk，Ｂk，Ｃk，Ｄk型の複素単純リー代数は古典型，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものは例外型と呼ばれる．すなわち，単純リー群には９つの型があり，それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの無限系列とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外群であった．

　

　キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しているということである．

　

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　ルートとは鏡映を与えるベクトルとして理解することができる．たとえば，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，Ｅ8型ルート系が得られるというわけである．

　

　ルートは，半単純リー群の分類とか，特異点，正多面体の決定の際にも現れ，数学のさまざまな領域で重要な働きをする．そして，ルート系から得られた結果をもとにして，コラム「極大格子群とルート系」では２〜８次元における極大格子の格子点間距離を求めた．

　

　極大格子群の問題は「単位格子群の２つの格子点の間の最小距離ｄminを最大にする格子群を求めよ」というミニマックス問題であり，「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題（ケプラー問題）と密接に関係している．

　

　１６１１年，ケプラーは３次元における球の詰め込みの最大密度は面心立方格子状配列（八百屋の店先でミカンなどの山を安定に積み上げるために使われている日常的な配置）であると予測していた．ケプラー問題は何世紀にもわたる研究にもかかわらず未解決であったが，１９９８年にヘールによって証明された．→「ひもの棲む世界」参照

　

　このコラムでは，最密充填構造は４次元，５次元においては面心立方格子の類似品となるが，６次元以上についてはそのようなことは成立しなくなることを述べた．次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからである．そして，８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，そこに同じ大きさの球が詰め込み可能になる．８次元や２４次元は特別な意味をもった次元なのである．→「ひもの棲む世界」参照

　

　一方，配置が完全に規則的である結晶の極みにあるランダムな配置（ポアソン配置）の場合の平均距離も算出した．２〜８次元において，ランダム配置の平均距離は，均等配置の格子点間距離の半分よりは大きい，逆にいうと，均等配置距離はランダム配置の平均距離の２倍よりも小さいという結果が得られた．この結果が９次元以上でも成り立つのかどうかは不明である．

　

　結晶と完全にランダムな点の配置は対極的ではあるが，意外なことにどちらも数学的な扱いが容易な構造であった．

　

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【２】応用数学的なるもの

　

　　「格子上の確率論（その２〜その８）」

　　「適合度検定をリファインする（その２）」

　　「ビールの泡と多面体」

　　「幾何学的不等式への招待（その１・その２）」

　　「４次元・５次元を垣間みる」

　　「正多面体は総計１５種類ある」

　　「サンゴ礁と豊饒の海」

　　「楕円近似について（その１〜その３）」

　　「ロボットアームと６次元楕円体（その１〜その３）」

　　「地図と三角法」

　　「ロボットアームとｎ次元直方体（その１〜その３）」

　

　コラム「格子上の確率論」は今年最も長く続いたシリーズである．横浜国大・今野紀雄先生よりご教示の特性関数を用いる再帰確率の計算法が，小生の行った初等的数え上げ法とはあまりにもかけ離れた方法だったのに大変驚かされたことによって予想外の長編となった．また，ランダムウォークの考え方を統計検定に応用した話が「適合度検定をリファインする（その２）」にまとめられている．

　

　「格子上の確率論（その６）」では１次元，２次元ランダムウォークの母関数を求めた．たとえば，１次元ランダムウォークで原点に戻るのはｔが偶数の時に限られるので，２ｎステップのとき，左右に同じ回数ｎずつ移動する確率は

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

で与えられる．また，ｕ0＝１，奇数回目には戻ることができないのでｕ2n+1＝０としよう．

　

　ここで，ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)であるから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)*t^2/(n+1)

これより，級数Ｕ（ｔ）は超幾何級数1Ｆ0(1/2,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝1Ｆ0(1/2,t^2)＝（１−ｔ^2）^(-1/2)

であることがわかる．

　

　２項展開からすぐにこの関数を思い浮かべることは困難であるが，超幾何関数であると仮定すると上のようにして導き出すことができる．このように，超幾何関数は今年の隠れた主役だったわけで，「数にまつわる話」，「超幾何関数とゼータ関数」にも登場している．

　

　同様に，２次元ランダムウォークの母関数は

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝｛2nＣn／２^(2n)｝^2であるから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)^2/(n+1)*t^2/(n+1)

　

　これより，級数Ｕ（ｔ）はガウス型超幾何級数2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)＝2/πＫ（ｔ）

より第２種楕円積分となることがわかる．

　

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　一方，１次元ランダムウォークにおいて，粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率を求めるのは簡単ではない．

　

　実は，

　　ｆ2n＝ｕ2(n-1)／２ｎ

で与えられるのであるが，ここではわからないと仮定して，ｆnの母関数を

　　Ｆ（ｔ）＝Σｆnｔ^n　　　ｆ0＝０，ｆ2n+1＝０

としよう．

　

　原点に戻って来るには，はじめてどこかで原点に戻って，その後，またｎ回目に戻ってくればよいので，ｕnとｆnの間には両者を結びつける重要な公式

　　ｕn＝Σｆkｕn-k＝ｆnｕ0＋ｆn-1ｕ1＋・・・＋ｆ0ｕn

が導かれる．

　

　ここで，両辺にｔ^nをかけてｎを０〜∞までの和をとれば，左辺からはＵ（ｔ），右辺からは１＋Ｕ（ｔ）Ｆ（ｔ）が得られるので，このことより

　　Ｕ（ｔ）＝１＋Ｕ（ｔ）Ｆ（ｔ）

すなわち

　　Ｆ（ｔ）＝１−１／Ｕ（ｔ）＝１−（１−ｔ^2）^(1/2)

が成り立つ．この展開式の定数項は０になる．

　

　これより，名目的には

　　ｆn＝(-1)^(n+1)1/2Cn　　　　　Σｆn＝Ｆ（１）

と表されることがわかるが，さらに式変形すると，実質的には

　　ｆn＝(2n-3)!!/(2^nn!)

ここで，(2n-1)!!=(2n)!(2^nn!)より，きれいな式

　　ｆn＝ｕ2(n-1)／２ｎ　　　（ｎ≧１）

が導かれる．

　

　ここで，

　　ｆn＝ｕ2(n-1)／２ｎ

が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　ａn＝ｕ2n／２（ｎ＋１）　　　（ａ0＝1/2）

この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1/2)(n+1)/(n+2)*x^2/(n+1)

であるから，ｆnの母関数は

　　ａ0*2Ｆ1(1/2,1/2,2,x^2)＝1/2*2Ｆ1(1/2,1,2,x^2)

　　　　　　　　　　　　　 ＝1/{1+(1-x^2)^(1/2)}

であると同定される．

　

　（その６）ではｆnの母関数の導出に間違いがあったようであるが，この場を借りて訂正しておく．また，ここまでやったからにはカタラン数の母関数も求めておきたいものである．

　

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　粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率は

　　ｆ2n＝ｕ2(n-1)／２ｎ

で与えられることがわかったが，この確率はカタラン数

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝１，２，５，１４，４２，・・・

を用いて，

　　ｆ2n＝Ｃ(n-1)／２^(2(n-1))

と表される．

　

　カタラン数列

　　１，２，５，１４，４２，１３２，４２９，１４３０，４８６２，１６７９６・・・

のはじめの４項１，２，５，１４は初項１から始まって前項を３倍して１を引いたものに一致するが，５項目以降は異なっている．

　

　カタラン数から一般項が何かを予想するのは難しいが，ここでは

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）　　　（Ｃ0＝１）

がわかっているものとして，母関数

　　Ｆ（ｔ）＝ΣＣnｔ^n　　　

を求めてみよう．

　

　この級数は，第０項：Ｃ0＝１から始まるので，そのまま項比をとると

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1/2)(n+1)/(n+2)*4x/(n+1)

したがって，

　　Ｆ（ｘ）＝2Ｆ1(1/2,1,2,4x)=2/{1+(1-4x)^(1/2)}

　　　　　　＝{1-(1-4x)^(1/2)}/2x

　

　　(1-4x)^(1/2)＝Σ(-4)^k1/2Ck･ｘ^k

より

　　Ｃn＝-1/2(-4)^(n+1)1/2C(n+1)

これをさらに式変形すれば，

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）

になる．この結果，二項展開を丹念に使えば

　　{1-(1-4x)^(1/2)}/2x=Σ2nCnx^n/(n+1)

が得られるはずである．試してはいないが，かなり面倒そうである．

　

　実はカタラン数に対しては，漸化式

　　Ｃn＝ΣＣkＣn-k-1＝Ｃ0Ｃn-1＋Ｃ1Ｃn-2＋・・・＋Ｃn-1Ｃ0

が成り立つので，母関数は

　　Ｆ（ｔ）＝ΣＣnｔ^n＝ΣＣkｔ^kΣＣn-k-1ｔ^n-k＋１

　　　　　　＝Ｆ（ｔ）・ｔＦ（ｔ）＋１

すなわち，

　　ｔＦ（ｔ）^2−Ｆ（ｔ）−１＝０

なる２次方程式を満たすことが知られている．

　

　Ｃ0＝１を満足させなければならないので，複号は負号をとると，

　　Ｆ（ｔ）＝{1-(1-4x)^(1/2)}/2x

がでてくることを付記しておく．

　

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　高次元幾何学は「閑話休題」の発足以来の大きなテーマとなっていて，例えば「ひもの棲む世界」や「４次元・５次元を垣間みる」は高次元幾何学を取り扱ったコラムである．

　

　コラム「サンゴ礁と豊饒の海」は，秦浩司先生（現・ハザマ技術研究所）の大気中のＣＯ2濃度に関する研究中に派生した誤差の問題を扱ったものである．「サンゴ礁＝腐界の森」という結論は，結構大きな反響があったが，そこでは，誤差はｎ次元直方体ではなく，本来はｎ次元楕円の構造になっているという統計の問題を扱った．これも高次元幾何学の例といってよいだろう．

　

　それが思わぬ方向に発展し工学の問題と結びついたのが，コラム「ロボットアームと６次元楕円体」，「ロボットアームとｎ次元直方体」となった．秦先生のサンゴ礁の研究がきっかけとなり，秋田大学・工学資源学部の佐々木誠先生により車いすの設計に応用されるまでの話であるが，統計的な話がいつのまにか工学的な話に変身するというストーリー展開となっている．

　

　小生は６次元楕円体が地震の振動解析にも応用できるものと考えているが，ともあれ，工学と結びついたこの分野は来年以降最も発展することが予想され，車イスの設計などに変革を迫るものとなることが期待される．

　

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【３】その他

　

　　「ダイヤモンドと多面体」

　　「虹は２次曲線」

　　「シャボン玉とんだ（シャボン玉の科学史）」

　　「膜の研究者たち」

　　「鉄砲と金平糖」

　

　「シャボン玉とんだ（シャボン玉の科学史）」では，シャボン玉の物理的性質だけでなく，数学的性質（平均曲率一定曲面）についても言及し，丸いシャボン玉がありふれていることを説明した．それにつけても「ダイヤモンドと多面体」は異色でミステリアスな内容であったとの雑感であるが，２００２はまとまりのない終わりで締めくくることにしよう．

　

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【４】おわりに

　

　２００３はどこへ進もうとするのか自分にも定かではないが，わが闘争（Mein Kampf）ならぬ「わが逃走」となることだけは避けたいものである．ｎ次元楕円とｎ次元直方体の工学的応用が「わが闘争」の一翼を担ってくれるものと楽しみにしている．

　

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